Study of holonomic constants using algebraic analysis
Project/Area Number |
22K18668
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Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Review Section |
Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
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Research Institution | Osaka University |
Principal Investigator |
吉永 正彦 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (90467647)
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Project Period (FY) |
2022-06-30 – 2025-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥6,240,000 (Direct Cost: ¥4,800,000、Indirect Cost: ¥1,440,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,470,000 (Direct Cost: ¥1,900,000、Indirect Cost: ¥570,000)
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Keywords | ホロノミック定数 / マグニチュード |
Outline of Research at the Start |
本研究は「円周率を表す無限級数は無数にあるが、それらは本質的に同じなのではないか?」という素朴な問いに数学的な定式化を与えることを目標としている。円周率を表す無限級数の多くは「ホロノミック数列」と呼ばれる数列の無限和で表されている(ホロノミック定数)。本研究は(i)どのような実数がホロノミック定数か? (ii)ホロノミック定数の間にはどのような関係式が成り立つか?という二つの大きな問を軸に研究を進める。(i) では距離空間の実数不変量であるマグニチュードなどのホロノミック性を調べ、(ii)ではホロノミック定数の間の関係式が、微分作用素の代数的な操作から得られることを定式化したいと考えている。
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Outline of Annual Research Achievements |
円周率を表す級数の多くが「ホロノミック級数」と呼ばれるクラスに属していることに注目し、ホロノミック級数の観点から、広く無限級数に関する基礎的な調査を行った。 距離空間の不変量であるマグニチュードについては、従来から "Scattered" と呼ばれる性質を持った有限距離空間に対しては素朴な意味での級数表示が収束するが、一般には収束せずにある種の解析接続を経由して初めて計算可能となる。"Scattered"でない場合でも、正定値空間と呼ばれる有限距離空間に関しては、Borel総和法でマグニチュードを求められることを観察しており、発表手段を検討している。マグニチュードに関してはここ数年、実解析の専門家の参入が活発で、今年度、その方面の進展を取り入れるために、関連する研究集会に出席し、トポロジー、組合せ論、幾何解析や数理物理の専門家との議論の機会を何度か持った。その結果、マグニチュードの圏化とされるマグニチュードホモロジーをホモロジー群に持つような空間対「マグニチュードホモトピー型」が導入された。本研究との関連では、マグニチュードホモトピー型は経路積分的な表示を持つことが明らかとなり、その表示を通してマグニチュード自体に対して何が言えるかは今後の課題である。 Ehrhart理論などの数え上げ関数から決まる無限級数は、ホロノミック級数の中でも特に単純なクラスを成すが、ほかにも周期グラフの増大度関数などに関する重要な進展があり、より広い視野に立ち研究を進める必要性が明らかになってきた。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初計画していた二つの問題設定((i)どのような実数がホロノミック定数か? (ii)ホロノミック定数の間にはどのような関係式が成り立つか?)のうち、(i)については、マグニチュードの振る舞いの代数解析的メカニズムにアプローチするための理解の進展が得られたと考えている。しかし(i)についての進展がひと段落するのに年度末までかかったため、(ii)については実質的な進展はなかった。
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Strategy for Future Research Activity |
マグニチュードのホロノミック定数の観点からの研究に関しては、このまま進めていきたいと考えている。特に、波動方程式に関するホイヘンス=フレネルの原理とマグニチュードの関係を示唆する観察が得られており、微分方程式論に関する知見を取り入れることが重要であると考えている。これは「現在までの進捗状況」で述べた二つの課題の両方に関係するものであり、幾何解析や解析学の専門家との協力を探りながら研究を進めたいと考えている。
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Report
(1 results)
Research Products
(2 results)