相対論的流体方程式の研究

• Project/Area Number: 22K18671
• Research Category: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 中村 誠 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 教授 (70312634)
• Project Period (FY): 2022-06-30 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥6,240,000 (Direct Cost: ¥4,800,000、Indirect Cost: ¥1,440,000); Fiscal Year 2024: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000); Fiscal Year 2023: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000); Fiscal Year 2022: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
• Keywords: 相対論的流体方程式 / 初期値問題 / 大域可解性 / 偏微分方程式論 / 一様等方時空 / 非線形 / 相対性理論

Outline of Research at the Start

本研究は、相対論的流体方程式の初期値問題に取り組み、主に双曲型方程式に対する研究成果に基づいて、研究の萌芽的展開を目指すものである。調和解析的手法と実解析的手法を基本として、解析方法の構築を行う。研究者間の交流を通して課題解決と発展を試みるものであり、国内と国外の各地で開催される研究集会における研究経過の発表、研究集会の開催を通して、研究動向の把握と研究ネットワークを構成する。

Outline of Annual Research Achievements

昨年度に引き続き、流体についての非相対論的極限方程式について考察した。本研究は、一般相対論の研究を背景としており、そこでの典型的な双曲型方程式の一つである非線形クライン・ゴルドン方程式の研究に参考となる点がある。特に、非相対論的方程式を扱う場合には、非線形シュレディンガー方程式の解析方法との比較検討が有益となる場合がある。この観点から、解の減衰評価と非線形評価の比較検討を行った。定在解の解析のために、シュレディンガー方程式に対するエーレンフェストの定理を参考に、非相対論的極限方程式に対応する常微分方程式の解挙動の解析を行った。平坦でない空間における極限方程式の解法について、正曲率空間における一様評価の導出に取り組んだ。相対論的流体方程式について、関連するクライン・ゴルドン方程式を参考に、エネルギー評価の構成に取り組んだ。その評価を基に、小振幅時間大域解の構成方法を考察した。研究過程において、時空の膨張あるいは収縮から生じる線形項の係数が、時空の最大存在時間内に符号変化する可能性があることが分かり、この符号変化に対する解析方法を考察する必要が生じた。流体方程式において、この符号変化が生じる場合には、解の挙動自体も大きく変化する可能性があり、研究対象として継続して考察することとした。学会において関連する途中経過を発表すると共に、研究動向と研究手法における情報収集を行った。また、研究交流の活性化を通して課題解決を図ることを視野に、研究集会を開催した。研究集会においては、参加者より、現在の進捗状況についてアドバイスと関連文献の情報を得た。また、相対性理論に関する偏微分方程式論の先端研究を行っている研究者を招聘し、研究の進捗を図った。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当初計画に沿って進展している。

Strategy for Future Research Activity

今後も計画に沿って研究を進める。

Research Products

• [Int'l Joint Research] Stanford University/The University of Texas RGV(米国)
• [Int'l Joint Research] 北京大学(中国)
• [Int'l Joint Research] Stanford University(米国)
• [Journal Article] Numerical accuracy and stability of semilinear Klein-Gordon equation in de Sitter spacetime (2023)
  • Author(s): T. Tsuchiya, M. Nakamura
  • Journal Title: JSIAM Letters Volume: 15 Pages: 45-48
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On the Cauchy problem for the Hartree type semilinear Schroedinger equation in the de Sitter spacetime (2023)
  • Author(s): M. Ichimiya, M. Nakamura
  • Journal Title: Evolution Equations and Control Theory Volume: 12 Issue: 6 Pages: 1602-1628
  • DOI: 10.3934/eect.2023028
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] The Cauchy problem for a semilinear ordinary differential equation in the homogeneous and isotropic spacetime (2023)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Journal Title: Tsukuba Journal of Mathematics Volume: 47 Pages: 153-189
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Remarks on global solutions on semilinear Klein-Gordon equations in Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker spacetimes (2024)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: Mathematical Physics Seminar, The University of Texas Rio Grande Valley.
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Global solutions of Klein-Gordon equation under the quartic potential in the de Sitter spacetime (2023)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: 14th International ISAAC Congress, University of Sao Paulo, Campus Ribeirao Preto (Brazil)
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On the Klein-Gordon equation under the quartic potential in the de Sitter spacetime (2023)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: Workshop on Nonlinear Hyperbolic PDEs, On the occasion of 60th birthday of Professor Yi Zhou, Tohoku University, Sendai, Japan.
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On small global solutions of Klein-Gordon equation under the quartic potential in the de Sitter spacetime (2023)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: 神戸大学解析セミナー, 神戸大学.
  • Invited
• [Presentation] Global solutions of Klein-Gordon equation under the quartic potential in the de Sitter spacetime (2023)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: 大阪大学理学部数学教室談話会, 大阪大学.
  • Invited
• [Presentation] On the Klein-Gordon equation under the quartic potential in the de Sitter spacetime (2023)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: Japanese Academic Seminars at Stanford, Stanford University
  • Invited
• [Presentation] The Cauchy problem of Klein-Gordon equation under the quartic potential in the de Sitter spacetime (2023)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: Distinguished Colloquium Series, The University of Texas Rio Grande Valley
  • Invited
• [Presentation] Global solutions and blow-up solutions of power-type semilinear Klein-Gordon equations in the de Sitter spacetime (2022)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: 微分方程式セミナー, 大阪大学
  • Invited
• [Presentation] The Cauchy problem for the Klein-Gordon equation under the quartic potential in the de Sitter spacetime (2022)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: 応用解析研究会, 早稲田大学
  • Invited
• [Presentation] Global solutions for semilinear Proca equations in the de Sitter spacetime (2022)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: NLPDEセミナー, 京都大学
  • Invited
• [Presentation] Global solutions for the Klein-Gordon equation under the quartic potential in the de Sitter spacetime (2022)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: 熊本大学応用解析セミナー, 熊本大学
  • Invited
• [Presentation] Existence and non-existence of global solutions for the Klein-Gordon equation in the de Sitter spacetime (2022)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: 第65回南大阪応用数学セミナー, 大阪公立大学．
  • Invited
• [Presentation] Semilinear Proca equations in the de Sitter spacetime (2022)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: 第18回非線型の諸問題（オンライン）
  • Invited
• [Presentation] On the Cauchy problem for the Klein-Gordon equation under the quartic potential in the de Sitter spacetime (2022)
  • Author(s): M. Nakamura
  • Organizer: Analysis & PDE seminar, Stanford University
  • Invited
• [Funded Workshop] ``The 14th International ISAAC Congress,'' Session ``Partial Differential Equations on Curved Spacetimes," (2023)
• [Funded Workshop] ``Beijing-Osaka joint workshop for PDE and related topics," (2023)
• [Funded Workshop] Mathematical Analysis of Nonlinear Dispersive and Wave Equations (2023)