| Project/Area Number |
22K18676
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
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| Research Institution | The University of Tokushima |
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Principal Investigator |
大山 陽介 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 教授 (10221839)
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| Project Period (FY) |
2022-06-30 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥6,500,000 (Direct Cost: ¥5,000,000、Indirect Cost: ¥1,500,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
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| Keywords | q-パンルヴェ方程式 / 超幾何方程式 / セグレ曲面 / 漸近解析 / 超越数 / q-超幾何函数 / オイラー・ポアソン・ダルブー方程式 / 離散可積分系 / パンルヴェ方程式 |
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| Outline of Research at the Start |
ある数が無理数かどうか，超越数かどうか調べる問題は，ルート2に対してギリシャ人が頭を悩まして以来の問題である。無理数性を調べるには有理数による近似数列を研究することが有効であるが，この有理数列は一般には何かの漸化式を満たしている。その漸化式が離散パンルヴェ方程式などの離散可積分系の場合には、可積分系の手法が役に立ち，無理数や超越数の研究に可積分系の立場から新しい視点を与えることができると思われる。
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| Outline of Annual Research Achievements |
2024年度における大きな研究テーマは、q-パンルヴェ方程式の大域解析と非斉次q-超幾何方程式の二つである。q-パンルヴェ方程式の大域解析については、昨年までの研究を継続して、q-パンルヴェVI型方程式の大域解析を行い、特殊解との関係を調べている。q-パンルヴェVI型方程式の大域解析として、指標多様体が重要になる。この指標多様体がセグレ曲面になることから、曲面上の18本の直線の上でどのようなq-パンルヴェ函数が対応するかを調べている最中である。交点のいくつかでは大山が以前に発見した、特異点の周りでの一価な解になり、大変興味深い対象であることがわかっている。この研究については、8月の数理研での国際会議で講演した。
非斉次q-超幾何方程式は、2024年度に開始した、リール大学のChanggui Zhang教授との共同研究によるものである。非斉次ベッセル微分方程式として、19世紀にStruve, Anger, Weber, C.Neumannらの研究がある。特にStruve函数は数理物理の問題から生まれたもので、多くの応用がある。こうした非斉次ベッセル微分方程式をまとめたのがLommelで∇u=x^a の形の非斉次方程式を考えた。ここで∇はベッセル作用素であり、この∇をq-Bessel方程式に変えたのがq-Lommel函数である。q-Lommel函数に関しては、Rahmanらの先行研究があるが、Lommel函数の性質として重要な漸近解析までやっていない上に、三種のq-Bessel方程式のうち一種類しか調べてない。そこで三種のq-Bessel方程式全てについてq-Lommel函数を定め、そのq-Stokes係数を決定した。この研究は、25年3月の熊本の研究会で発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究の主目的である離散パンルヴェ方程式を用いた超越数の研究という点では進捗がない。挑戦的課題であるということを差し引いても、離散パンルヴェ方程式と直交多項式や連分数展開（クラスター代数）との関係は進めたかったところである。申請者の関心が、離散パンルヴェ方程式の大域解析へ向いたことが大きな理由であるが、離散パンルヴェ方程式の中でも退化の大きいI型、II型の方が構造が見やすいこともあるので、退化を進めていくべきであろう。しかしながら、大域的な構造はVI型などの方が研究しやすいので、その辺りのバランスが難しいところである。
離散パンルヴェ方程式の大域解析を推し進める際に鍵になるのがパンルヴェ函数の漸近展開である。おそらく超越数などと関係するのはいくつかのパタンがある漸近展開の中でも代数的な場合であろう。この場合はモノドロミが単純になることが経験的には知られている。現代的には、モノドロミ全体が定める指標多様体が何らかの次数のデル・ペッツォ曲面になり、デル・ペッツォ曲面に含まれる直線の交点が我々が調べたい特殊解になっていると予想される。こうした予想は、離散パンルヴェ方程式の場合にはまだ明確になっていないので、本計画の最終的な段階にたどり着くにはまだ多くの準備が必要である。
そうした意味で「やや遅れている」としたが、離散パンルヴェ方程式の大域解析という数年前には明確でなかった問題を形にしてきたという意味では、この分野では大きなインパクトを与えてきたと考えている。研究期間を一年延長して、もう少し深い結果を探していきたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
超越数と関係がつくようなパンルヴェ方程式の特殊解を探るためには、現時点でいくつかの準備が必要であることがわかっている。
1. 離散パンルヴェ方程式の指標多様体の決定。この点ではq-パンルヴェVI型しかわかっていないが、加法的離散パンルヴェ方程式の指標多様体はE6型より下では一応は原理的にはわかっていると考えられる（微分パンルヴェ方程式の指標多様体と同じ、E6は例外的に昔から知られている）。2. 指標多様体の構造。３次か４次のデル・ペッツォ曲面になるか、少なくともセグレ曲面かクライン・ケイレーの3次曲面と容易に関係がつく曲面になるだろうと思われ、曲面に含まれる直線およびその交点を決定する必要がある。交点に対応する解は比較的表示が簡単になると思われ、微分の場合の経験からも数理物理で現れる重要な函数になるだろうと予想される。こうした構造を、指標多様体側とパンルヴェ方程式側の両方で捉えていく必要がある。
以上の2点が「基礎」の部分で、次に発展の部分が 3. パンルヴェ特殊函数の表示。おそらく特殊な重みを持つ直交多項式がこうした解の背後に存在するはずなので、離散の場合に裏に潜む直交多項式が何かを見出すことが鍵になる。この段階は、まだ過去の経験があっても少なくとも申請者にはその手続きが見えてないのでやや困難な段階になる。4. 連分数展開。3の段階ができれば直交多項式と連分数展開は不可分の関係であることが19世紀のStieltjesの研究以来昔から広く知られており、本研究の主目標である超越数の研究に大きく近づくと予想される。３よりはやりやすい課題である。
以上4点の準備のもとで、パンルヴェ方程式を用いた超越数の研究という主目的に取り掛かることができる。遠大なテーマではあるが、本研究開始時に比べて形が見えてきたという点では進展しており、少しでも形にしたい。
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