Development of a foundation for discrete complex analysis

Research Project

Project/Area Number	22K18677
Research Category	Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
Allocation Type	Multi-year Fund
Review Section	Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
Research Institution	Shibaura Institute of Technology
Principal Investigator	石渡哲哉芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50334917)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	榊原航也岡山理科大学, 理学部, 講師 (30807772)
Project Period (FY)	2022-06-30 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥6,500,000 (Direct Cost: ¥5,000,000、Indirect Cost: ¥1,500,000) Fiscal Year 2024: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000) Fiscal Year 2023: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000) Fiscal Year 2022: ¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Keywords	離散複素解析 / 離散正則性 / コーシーの積分表示 / 離散円周率 / コーシーの積分定理 / メッシュ分割
Outline of Research at the Start	複素平面上で定義される複素数値関数の解析学である複素解析学は、数学のみならず工学等における応用でもよく活用されている数学の理論の１つです。本研究では、その離散的対応物である離散複素解析学の基盤を作ることです。このような研究は20世紀前半より進められてきましたが、複素平面の離散化の形状に制限がありました。これは、複素関数論で重要となる正則性の離散版の定義に起因します。本研究では、この離散正則性の定義をコーシーの積分定理を基礎に見直し、複素平面の離散化に対する制限を完全に取り払い、任意の平面分割上での離散複素解析学の構築のための基礎を確立します。
Outline of Annual Research Achievements	複素解析は非常に整備された数学理論であり、数学としての価値だけでなく、数理周辺の諸科学や工学における応用の場面でも非常に強力な数学理論として用いられてきている。その応用の観点からは、複素解析学の諸定義・結果等の単なる離散化ではなく、概念などの導入の最初から離散的な枠組みで理論体系を構築する試みが1940年代からなされており、物理学やCGなどへの応用も含め一定の成果を上げている。しかし、従来の定義はコーシーリーマン方程式の離散化をベースとすることから、複素平面のメッシュ分割に制限があっり、各結果の証明もそのメッシュ分割に則ったものとなっていた。我々は、離散正則性の定義から見直しを行い、正則性のある種の積分表現に基礎を置くことにより、一般的なメッシュ分割に制限なく離散正則性を定義できることを見出し、その定義の元でコーシーの積分表示を含む、より一般的な表現公式を得ることに成功した。また、その過程でサイクル（離散化された積分路）に依存して定まる離散円周率を導入した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason やや遅れている点としては、現在得られている離散コーシーの積分表示は、関数値を表示する点から最も近いところを回るサイクルのみで計算を行っており、より一般的なサイクルに対する表示はまだ得られていない。この点は現在取りかかっており、概ね順調と判断している。
Strategy for Future Research Activity	上に記したようにより一般的なサイクルに対するコーシーの積分表示や高階微分の積分表示に対応する離散版の表示公式の導出が最初の課題となる。また、平均値に関する考察や最大値原理に対する考察を順次進めていく。