Coefficients in p-adic Hodge theory

Research Project

Project/Area Number	22KF0094
Project/Area Number (Other)	22F22711 (2022)
Research Category	Grant-in-Aid for JSPS Fellows
Allocation Type	Multi-year Fund (2023) Single-year Grants (2022)
Section	外国
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	辻雄東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40252530)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	ABHINANDAN 東京大学, 大学院数理科学研究科, 外国人特別研究員 ABHINANDAN 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 外国人特別研究員
Project Period (FY)	2023-03-08 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥2,300,000 (Direct Cost: ¥2,300,000) Fiscal Year 2024: ¥400,000 (Direct Cost: ¥400,000) Fiscal Year 2023: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000) Fiscal Year 2022: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Keywords	相対Wach加群 / 整p進表現 / クリスタリン表現 / p進局所系
Outline of Research at the Start	有理数体(より一般に代数体)上の代数多様体(いくつかの多変数多項式で定義される図形)の数論的性質の研究において，そのエタール・コホモロジーへのガロア群(有理数係数の代数方程式の解の対称性を包括的に捉える代数的対象)の作用を調べることが，有効な手段の一つとなっている．本研究では，その素数pでの様子を微分形式を用いて調べるp進ホッヂ理論において，研究員が導入し確立した相対Wach加群を用いた整係数の理論を足掛かりとして，整係数の局所コホモロジー(消滅サイクル)の記述を，最近Bhatt, Scholzeが導入したプリズムの理論と比較しつつ完成させる.
Outline of Annual Research Achievements	研究員は学位論文の研究において，剰余体が完全な絶対不分岐なp進整数環上のsmoothな環の生成ファイバーの基本群の整p進表現に対して，絶対ガロア群の整p進表現に関するWach加群の理論を拡張した相対Wach加群の理論を構築し，相対Wach加群を持つ基本群の整p進表現はクリスタリン表現の格子となることを示していた．絶対ガロア群の整p進表現についてはすべてのクリスタリン表現の格子がWach加群を持つことが知られており，相対Wach加群でも同様の主張が成り立つかという基本的な問題が残されていた．クリスタリンp進表現の格子と局所自由性を緩めた絶対prismatic Fクリスタルの圏同値についての最近の先行研究を背景として，局所自由性を緩めた相対Wach加群を考えることにより，相対Wach加群の圏とクリスタリンp進表現の格子の圏のなす圏が圏同値になることを証明することに成功した．まず剰余体が完全でない絶対不分岐な完備離散付値環の場合に同様の定理を示し，それをp進整数環上のsmoothな環の特殊ファイバーの生成点に適用することにより上記結果を得た．前者については，類似のBreuil-Kisin加群において剰余体が完全な場合に帰着する先行研究があったが，Wach加群は群Γの作用を伴い，剰余体が完全な場合群Γは小さくなるため独自の工夫を要した．絶対prismatic Fクリスタルに関する上記先行研究との比較から，相対Wach加群への群Γの作用から対応するクリスタルを構成するためのstratificationを構成可能かという問題が自然に生ずる．この問題についても取り組み，相対Wach加群がある種の整p進周期環においてΓ作用が自明化されるという，絶対ガロア群の表現の場合にも知られていなかった新たな興味深い結果を得た．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 相対Wach加群とクリスタリン表現の格子の間の圏同値の研究は計画通り進展した．剰余体が完全でない場合の完全な場合への帰着の議論は，想像以上に困難があり新たなアイデアを求められたが最終的にすべての問題を解決することができた．絶対prismatic Fクリスタルとの比較研究については，相対Wach加群の群Γ作用とstratificationを結びつける鍵となる結果が証明できたことは大きな進展であった．研究員の学位論文におけるp進vanishing cyclesとsyntomic複体のsmoothな環上での比較を，Morrow氏と研究代表者が導入した相対BKF加群の理論，prismatic crystalおよびそれらに伴うq接続を用いて解釈しsmoothなスキームへ大域化する問題については，p進vanishing cyclesの計算で持ちいる相対BKF加群のNygaardフィルトレーションから syntomic複体のprism版で用いるNygaardフィルトレーションへの降下の際にあらわれる「ほぼ零なずれ」の扱いが想像以上に難しく，大きな進展は得られなかった．
Strategy for Future Research Activity	まず2022年度に得られた相対Wach加群と基本群の整クリスタリン表現の圏同値の論文を完成させる．基本群の有理クリスタリン表現はフィルトレーションとFrobenius構造をもつ接続付き加群の圏への忠実充満関手を持つ．この関手の相対Wach加群を用いた解釈においてフィルトレーションの復元がまだできていない．Nyagaardフィルトレーションを用いて実現できると期待している．この復元は可積分q接続を用いたsyntomic複体と従来の可積分接続を用いたsyntomic複体を比較する際に欠かせない．Morrow氏と研究代表者のBKF加群の研究における，幾何的基本群の整p進表現での理論ではある種の接続付き加群上のフィルトレーションを復元できており，このフィルトレーションとの比較を足がかりとして研究を進める．相対Wach加群と絶対Fクリスタルとの比較については，2022年度に得られた相対Wach加群のΓ作用のある種の整周期環による自明化を鍵として，相対Wach加群からstratification付き加群を経由で直接絶対F prismaticクリスタルへの圏同値を構成する．絶対F prismatic クリスタルの具体的記述は一般に難しいが，この研究により絶対不分岐なp進整数環上では扱いやすい記述が得られることになる．p進vanishing cyclesの研究については，Nygaardフィルトレーションそのものの降下は難しいと思われるため，syntomic複体のレベルで直接比較を試み，それをもとに研究員の学位論文での結果の大域化を行う．