| Budget Amount *help |
¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,300,000)
Fiscal Year 2023: ¥400,000 (Direct Cost: ¥400,000)
Fiscal Year 2022: ¥400,000 (Direct Cost: ¥400,000)
Fiscal Year 2021: ¥500,000 (Direct Cost: ¥500,000)
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| Outline of Research at the Start |
低次元トポロジーにおいて, Yang-Millsゲージ理論を用いて構成される位相不変量には, ４次元多様体に対するDonaldson不変量と, ３次元多様体あるいは結び目に対するFloerホモロジーが存在し, これらの不変量の組は位相的場の理論(TQFT)の性質を満たす．本研究では, 可約接続と呼ばれる, モジュライ空間の商特異点が現れる状況でゲージ理論を展開し，これらのTQFTを可約接続の情報を含む「同変版の理論」に拡張することで, より強力な位相不変量の構成を目標とする．
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元ホモロジー球面に対する位相不変量は, SO(3)-同変インスタントンFloer理論により実現される. 前年度までの研究により, S^1-同変理論に基づく結び目コンコーダンス不変量の構成と, 位相的応用が得られていた.
最終年度は, SO(3)-同変理論から導かれるホモロジー同境不変量と, S^1-同変理論から導かれる結び目コンコーダンス不変量の間の明示的な関連性を明らかにすべく, 共同研究を遂行した. 手法は, ホモロジー3球面内の結び目に対して定義される, 特異インスタントンFloerホモロジーと, その結び目に沿う±1-手術に対する通常のインスタントンFloerホモロジーを完全三角列によって比較する方法に基づく. 本研究においては, この完全三角列の構成を, ある位相的条件下のもとでSO(3)-同変理論に拡張した.
これらの 同変理論の枠組みにより, 整数値コンコーダンス不変量とホモロジー同境不変量を比較する不等式の存在が示唆された. これはHeegaard Floer理論におけるd-不変量とτ-不変量の比較に相当し, 他のFloer理論の範疇では取らえられなかった新規的な関係性であるが, 証明の完遂に向けてさらなる検証が必要であると考えられる.
最後に全期間を通じた研究実績と今後の課題について述べる. 初年度および前年度までの研究により, 特異インスタントンFloer理論由来の結び目コンコーダンス不変量の一般化および, special cycleと呼ばれる統一的理論の整備によるパッケージ化が進行し, 多数の位相的応用につながった. また, 本研究により, Heegaard Floer理論に類する性質が発見された. 最終年度においては, インスタントン理論特有の考察により, 他のFloer理論において未解明であったタイプの関連性が示唆される段階に達したと言える.
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