| Project/Area Number |
22KJ2099
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| Project/Area Number (Other) |
22J00100 (2022)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2023)
Single-year Grants (2022) |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
藤岡 禎司 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2023-03-08 – 2025-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
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| Keywords | Alexandrov空間 / Busemann空間 / CAT空間 / GCBA空間 / extremal subset / stratification / Riemann多様体 / 断面曲率 / Gromov-Hausdorff収束 / 崩壊 / Lipschitzホモトピー / 良い被覆 |
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| Outline of Research at the Start |
Alexandrov空間とは、三角形の比較定理の意味で断面曲率の下界の概念をもつ距離空間である。このような空間は、断面曲率の下界をもつRiemann多様体の列のGromov-Hausdorff極限として現れる。極限空間において次元が下がるとき、空間列は「崩壊」するという。本研究は、崩壊するRiemann多様体（より一般にAlexandrov空間）の位相を、極限空間の特異構造を用いて記述することを目標とする。並行して、曲率の上界をもつ空間の幾何学の研究にも取り組み、曲率の上界と下界の双対性を探る。
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度の主な研究成果は以下の通りである。
1. Alexandrov空間の特異構造の研究：昨年度に得られていた結果「Alexandrov空間がSiebenmann（1972）の意味のCS集合である」ことに関する論文の執筆を行った。その過程でAlexandrov空間のstratification（特異点集合への分割）が従来知られていたよりもさらに良い正則性をもつことを示す新たな結果を得た。結果がより良くなる可能性があるため執筆した論文の学術誌への投稿は一旦見送った。
2. Busemann空間のトポロジーの研究：トポロジストのShijie Gu氏との共同研究として、測地的完備Busemann空間の位相構造の包括的研究を行った。Busemann空間は距離関数の凸性の意味で非正曲率をもつ距離空間であり、よく知られているCAT(0)空間を含むさらに広いクラスである。一方でBusemann空間の構造理論はこれまでほとんど研究されてこなかった。今年度の研究では、近年のLytchak-永野（2019, 2022）およびLytchak-永野-Stadler（2024）によるCAT(0)空間に対する一連の位相的結果がBusemann空間に拡張できることを示した。特にGromov（1981）の問い「4次元Busemann位相多様体はEuclid空間に同相か」に対し肯定的解答を与えた。論文執筆は研究期間終了直後に終えた。
研究発表については、今年度は国内で精力的に行った。また昨年度までに投稿していた論文の一つが学術誌に掲載され、これをオープンアクセスとした。
研究期間全体としては、当初の予定通りAlexandrov空間の収束・崩壊の研究、およびそのRiemann多様体への応用に加え、上記のような新たな曲率概念の研究に取り組むことができたと考えている。
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