| Project/Area Number |
22KJ2512
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| Project/Area Number (Other) |
21J22027 (2021-2022)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2023)
Single-year Grants (2021-2022) |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
今村 浩二 熊本大学, 自然科学教育部, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2023-03-08 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,200,000 (Direct Cost: ¥2,200,000)
Fiscal Year 2023: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
Fiscal Year 2022: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
Fiscal Year 2021: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
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| Keywords | 符号理論 / マトロイド / 線形符号 |
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| Outline of Research at the Start |
マトロイドとは、線形代数における線形独立性の概念を抽象化した組合せ構造であり、ある公理を満たす集合とその部分集合族の組である。符号とは、通信を行う際に、効率的かつ正確に情報を伝送するためのベクトルからなる集合であり、特にベクトル空間の部分空間をなす符号は線形符号と呼ばれる。体という良い性質を持つ代数上で定義される線形符号からマトロイドを構成できることは知られているが、ほとんどのマトロイドが体上の線形符号では表現できないことも知られている。本研究は、体の条件を弱めた環と呼ばれる代数上の線形符号を考えることで、体上では構成できない抽象的なマトロイドに対する具体的な解析を実現するものである。
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に行った変更を踏まえると、具体的な課題は以下の通りであった：(1)有限環上の符号を用いたマトロイド及びポリマトロイドの表現、(2) (q,m)-ポリマトロイドの臨界指数と、階数距離符号の被覆数との関連、(3)マトロイドにおけるブロックの理論のq-類似の解析。
q-類似とは、集合やその要素数に関して記述された概念や問題を、q個の元を持つ有限体上のベクトル空間やその次元に関する記述で置き換えた概念や問題のことである。
与えられたマトロイドからより小さいマトロイドを作る制限という操作の下、臨界指数は広義単調減少であるため、同じ臨界指数を持つマトロイドの中でも、制限の下で極小なものである極小ブロックが重要となる。実際、臨界問題を解くことは、極小ブロックを分類することと等価である。
本年度は、臨界定理のq-類似が他の研究者によって調査されていることがわかり、我々の研究との類似点と差異を明確にした。特に我々の研究はより階数距離符号に重きをおいた拡張となっている。
本年度においては、(1)について、有限環上の符号で表現されるマトロイドを、より小さくする制限や縮約の操作を行って得られるマイナーが、有限環上の符号で表現されるための条件を明らかにした。(2)について、(q,m)-ポリマトロイドに対する縮約の操作と、階数距離符号における部分符号を取る操作の整合性を明らかにした。(3)について、階数距離符号を用いて、ブロックのq-類似を具体的に構成する方法を示した。
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