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Combinatorial structures appearing in representation theory of quantum symmetric subalgebras, and their applications

Research Project

Project/Area Number 22KJ2603
Project/Area Number (Other) 21J00013 (2021-2022)
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeMulti-year Fund (2023)
Single-year Grants (2021-2022)
Section国内
Review Section Basic Section 11010:Algebra-related
Research InstitutionOsaka Metropolitan University (2022-2023)
Osaka City University (2021)

Principal Investigator

渡邉 英也  大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員(PD)

Project Period (FY) 2023-03-08 – 2024-03-31
Project Status Completed (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywords量子対称対 / 表現論 / 結晶基底 / 組合せ論 / 可積分系 / 量子対称部分代数 / 組合せK行列 / 結晶
Outline of Research at the Start

量子対称部分代数の表現論を組合せ論的に記述する結晶基底の理論を構築することで、古典的なリー代数の新しい組合せ論的模型や分規則を得たり、可積分系や離散力学系への応用を目指す。また、2つの異なる代数を表現論的に結びつける双対性を用いて、ヘッケ代数やブラウアー代数などの表現論との関連も明らかにする。

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題における主な実績は、量子対称対の結晶基底の理論の構築と、その他分野への応用である。
結晶基底の理論は、量子対称対の表現論を組合せ論的に記述する理論であり、一般的にはまだ定式化されていない。本研究課題では、準分裂局所有限型という特別な場合に限って、結晶基底の理論の基礎を構築し、基本的な諸性質を明らかにすることに成功した。この結晶基底の理論を用いて、量子対称対の表現を組合せ論的に理解することで、以下に挙げる成果を得た。
まず、AI型の場合の結晶基底の理論を応用することで、直交群の有限次元表現の新しい組合せ論的模型を構築した。さらにこの模型を使って、新たな分岐則を得た。また、この考え方を柔軟に推し進めることで、まだ結晶基底の理論が定式化されていないAII型の分岐則も得ることに成功した。これらの結果は、量子群の結晶基底の理論を用いた有限次元表現の組合せ論的模型の構築及びテンソル積則の自然な拡張であると言える。
次に、アフィンA型の場合の結晶基底の理論を用いて、ある離散力学系を統制する反射方程式の解である組合せ論的K行列を明示的に求めることに成功した。これは、量子群の結晶基底の理論を用いて、別のある離散力学系を統制する Yang-Baxter 方程式の解である組合せ論的R行列を求めることができるというよく知られた重要な事実の自然な一般化である。このことからも、本研究課題で構築した結晶基底の理論の妥当性が保証される。

Report

(3 results)
  • 2023 Annual Research Report
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • Research Products

    (17 results)

All 2024 2023 2022 2021

All Journal Article (8 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (9 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Invited: 5 results)

  • [Journal Article] Kirillov-Reshetikhin modules and quantum K-matrices2024

    • Author(s)
      Kusano Hiroto、Okado Masato、Watanabe Hideya
    • Journal Title

      Communications in Mathematical Physics

      Volume: 405 Issue: 4

    • DOI

      10.1007/s00220-024-04975-y

    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Symplectic tableaux and quantum symmetric pairs2023

    • Author(s)
      Hideya Watanabe
    • Journal Title

      arXiv

      Volume: -

    • Related Report
      2023 Annual Research Report
  • [Journal Article] Stability of icanonical bases of locally finite type2023

    • Author(s)
      Hideya Watanabe
    • Journal Title

      arXiv

      Volume: -

    • Related Report
      2023 Annual Research Report
  • [Journal Article] Stability of $\imath$canonical bases of irreducible finite type of real rank one2023

    • Author(s)
      Watanabe Hideya
    • Journal Title

      Representation Theory of the American Mathematical Society

      Volume: 27 Issue: 1 Pages: 1-29

    • DOI

      10.1090/ert/639

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Based modules over the $$\imath $$quantum group of type AI2023

    • Author(s)
      Watanabe Hideya
    • Journal Title

      Mathematische Zeitschrift

      Volume: 303 Issue: 2

    • DOI

      10.1007/s00209-022-03189-z

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Kirillov-Reshetikhin modules and quantum K-matrices2022

    • Author(s)
      Hiroto Kusano, Masato Okado, Hideya Watanabe
    • Journal Title

      arXiv

      Volume: -

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Journal Article] A new tableau model for irreducible polynomial representations of the orthogonal group2021

    • Author(s)
      Hideya Watanabe
    • Journal Title

      arXiv

      Volume: -

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
  • [Journal Article] Crystal bases of modified iquantum groups of certain quasi-split types2021

    • Author(s)
      Hideya Watanabe
    • Journal Title

      arXiv

      Volume: -

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
  • [Presentation] 一般線形群から斜交群への分岐則と量子対称対2024

    • Author(s)
      渡邉英也
    • Organizer
      東工大表現論セミナー
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Recent progress on crystal base theory for quantum symmetric pairs2023

    • Author(s)
      Hideya Watanabe
    • Organizer
      Taipei Conference on Representation Theory VII
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] A new branching rule from G L 2 n ( C ) to S p 2 n ( C )2023

    • Author(s)
      渡邉英也
    • Organizer
      表現論の組合せ論的側面とその周辺
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
  • [Presentation] 量子対称対の表現論から得られる一般線形群から斜交群への分岐則2023

    • Author(s)
      渡邉英也
    • Organizer
      日本数学会2023年度秋季総合分科会 代数学分科会
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
  • [Presentation] Invitation to crystal bases for quantum symmetric pairs2023

    • Author(s)
      Hideya Watanabe
    • Organizer
      Mini Course on Quantum Symmetric Pairs in Korea
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 有限型実階数 1 の $\imath$標準基底について2022

    • Author(s)
      渡邉英也
    • Organizer
      日本数学会2022年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] Crystal bases of modified i-quantum groups of certain quasi-split types2022

    • Author(s)
      Hideya Watanabe
    • Organizer
      UVA Algebra Seminar
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Based modules over the i-quantum group of type AI2021

    • Author(s)
      Hideya Watanabe
    • Organizer
      NUS Seminar
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Based modules over the i-quantum group of type AI2021

    • Author(s)
      Hideya Watanabe
    • Organizer
      Algebraic Lie Theory and Representation Theory 2021
    • Related Report
      2021 Annual Research Report

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Published: 2021-05-27   Modified: 2024-12-25  

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