| Project/Area Number |
22KK0034
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| Research Category |
Fund for the Promotion of Joint International Research (Fostering Joint International Research (B))
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 教授 (70451432)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
寺本 圭佑 山口大学, 大学院創成科学研究科, 講師 (10830002)
高橋 雅朋 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 教授 (80431302)
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| Project Period (FY) |
2022-10-07 – 2028-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥19,890,000 (Direct Cost: ¥15,300,000、Indirect Cost: ¥4,590,000)
Fiscal Year 2027: ¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
Fiscal Year 2026: ¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Fiscal Year 2025: ¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000)
Fiscal Year 2024: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2023: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
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| Keywords | 特異点 / 特異点判定法 / 特異点の微分幾何学 / 波面 / 螺旋曲面 / 余階数2特異点 / 漸近線 / 特性線 / ダルブー枠 / 可展面 / 曲率 / 特異性 |
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| Outline of Research at the Start |
数学内外の様々な分野に現れる特異点や特異的な現象、既存の理論の適用限界などを、ある種の微分可能写像の特異点ととらえる研究が大きな成果を上げている。本研究課題はこれらやこれらに限らない様々な分野に現れる特異性を写像の特異点ととらえ、特異点の判定法を作って特異点の条件を具体的に記述することにより各特異点の類似性と相違性や特異性の条件の間の関係を調べ、異なる分野同士の融合やこれまでになかった応用の開拓を目指すものである。
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| Outline of Annual Research Achievements |
特異点の判定法について、通常曲面に現れる余次元2特異点すべてに対して使いやすい判定法を与えた。余次元2特異点だと、これまで使っていたような座標不変量、つまりヤコビ行列式や退化ベクトル場の高次の微分の情報が必要であった。さらに余次元2特異点は2ジェットが(u,v^2,0)の場合と(u,uv,0)の場合があるが、後者は退化ベクトル場で微分したときの振る舞いがこれまでの研究結果と違っていた。これらのことから、退化ベクトル場に特別な条件を付与せざるを得なかった。本来は退化ベクトル場そのものを使って判定法を述べるほうがよいが、条件をみると、そのような判定法で単純な計算で判定できるものは難しいように思われる。これを用いて中心曲面や線織面の余次元２特異点の判定などの応用も与えた。カスプ的交差帽子特異点に対して、これまでの判定法は単位法線ベクトルや特異点集合のパラメーター表示が必要であったが、それらを必要としない、退化ベクトル場と単位長さとは限らない法線ベクトルを用いて判定できる条件を与えた。
円織面にあらわれる余階数２特異点を調べ、代表的な特異点に対して定義域の微分同相写像と像域の等長写像のみを用いて特異点の式に表れる係数を可能な限り減らした式を与えた。これを用いて、現れる係数を与えられた写像の微分のみを用いて書く式を得た。
特異点をもつ場合のd'Ocagneの定理に関して検討を行った。接ベクトル方向のみへの射影でなく、全方向の射影に対して検討を行った。ツバメの尾特異点等の特異点の標準形ができているものに関しては標準形の係数を不変量の代わりに用いた。
若手研究者も積極的に海外渡航し、計画通り教室セミナーを行った。その中で、曲率放物線の振る舞いや、特異点から高さ関数を用いて作る可展開面の特異点等の今後の研究課題を見出した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
特異点の判定法に関して、通常曲面に現れる余次元2特異点すべてに対して使いやすい判定法を与えることができた。判定法は特別な退化ベクトル場をとることによって与えたが、本来退化ベクトル場には条件はつけないほうが使いやすい。ただし、できた条件をみるとかなり複雑で、特別な退化ベクトル場をとらなかったとして、できる条件は計算しにくいものになると思われるため、判定法としては今回与えたもので十分有用だと思われる。実際中心曲面や線織面の余次元２特異点の条件を具体的に書くことができている。
カスプ的交差帽子特異点に対して、単位法線ベクトルや特異点集合のパラメーター表示を必要としない判定法を与えることができた。法線ベクトルが特異点にも拡張可能な写像に関して、カスプ的交差帽子のみ単位長さにした法線ベクトルと特異点集合のパラメーター表示が必要であり、これは使用上問題があったが、これを解決することができ、さらに中心曲面や折り返し曲面にあらわれるカスプ的交差帽子条件を具体的に書くことができている。
特異点をもつ場合のd'Ocagneの定理に関して検討を行い、曲面に沿う波面を少々拡張した概念の必要性を感じ、それを定式化した後にd'Ocagneの定理に取り組むという研究計画を立てることができた。また、従来のd'Ocagneの定理である接ベクトル方向のみへの射影でなく、全方向の射影に対して検討を行い、いくつかの方向に関する射影と切り口の曲率に対して関係式を得た。特異点をもつ曲面同士の接触に関して、カスプ辺で得ていた結果をもとに様々な特異点に対して同様の手法をとれることがわかり、実際検討を初めている。
若手研究者も積極的に海外渡航し、計画通り教室セミナーを行った。その中で、いくつかの研究課題を構成できた。これらのことから本研究課題は概ね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き研究課題を達成するために曲面に現れる特異点の微分幾何的研究を中心に研究を行う。そのために当初の計画に従い、まずはツバメの尾特異点のd'Ocagneの定理の検討を行う。ツバメの尾に対して特異点が表れるような射影の仕方は正則曲面とは違って任意の方向への射影で特異点が表れる。さらにもともとあるツバメの尾に接続しているカスプ辺以外にも射影によって特異点が発生することがある。これらの研究課題を検討するために、空間内の曲線に対して各点で角度を定義できるような定式化を得たため、この定式化を用いて射影と曲面の切り口を考える。射影や切り口は特異点を持つので、特異点付きの曲率を計算してツバメの尾の標準形の係数で書く。また、これらの係数に対しては前年度でいくつかの関係式を得ているが、関係式があるものに関しては幾何学的意味を検討する。これらは研究代表者と研究協力者のMartinsが長年研究してきたものの延長上にあり、様々な技術の蓄積がある。若手研究者の育成を兼ねてこれらの計算を国際共同研究として実施する。また、写像に関して、波面になるかどうかの必要十分条件が与えられた。この条件をd'Ocagneの定理の状況に取り込むことにより、新しい形の関係式導出を目指す。
昨年度の検討により、特異点をもつ曲面同士の接触に関して、カスプ辺で得ていた結果をもとに様々な特異点に対して同様の手法をとれることがわかった。これはMontaldi以来正則曲面同士の接触が精力的に行われてきたものを特異点がある場合に拡張したものであり、この理論を整備して特異点を持つ場合の接触の理論を展開する。特異点の標準形に対して発散図式等の単純な写像でない場合に対しても考えている空間内の適切な変換のみを使って表示式のパラメーターを減らして、その係数の幾何学的意味を考える。
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