チャーン・サイモンズ理論や面の運動に対する確率解析的研究

• Project/Area Number: 23540144
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
• Research Institution: Saga University
• Principal Investigator: 三苫 至 佐賀大学, 工学系研究科, 客員研究員 (40112289)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 市川 尚志 佐賀大学, 工学系研究科, 教授 (20201923)
• Project Period (FY): 2011 – 2013
• Project Status: Discontinued (Fiscal Year 2014)
• Budget Amount: ¥5,070,000 (Direct Cost: ¥3,900,000、Indirect Cost: ¥1,170,000); Fiscal Year 2013: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000); Fiscal Year 2012: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000); Fiscal Year 2011: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
• Keywords: チャーン・サイモンズ理論 / リーマン面 / モジュライ空間 / リーマン・ロッホの定理 / ショットキー一意化 / ゼータ関数 / 数論幾何 / 弦理論 / チャーン・サイモンズ積分 / 漸近展開 / 摂動展開 / 位相普遍量 / 国際研究者交流（中国） / 集合値確率積分 / ファジー過程 / 確率微分方程式 / 国際研究者交流 / 中国 / 北京 / 集合値確率微分方程式 / ファジー理論

Outline of Annual Research Achievements

本研究の主要な対象であるチャーン・サイモンズ理論に対し、リーマン面とそのモジュライ空間に関する数論幾何を応用することによって、次のような結果を得た。
1. 数論幾何における重要な対象であるテイト曲線と、その高種数化に関する理論を用いることにより、ショットキー群によって一意化された、双曲的3次元多様体のチャーン・サイモンズ不変量を表す巾級数の数論性を示した。
2. 数論幾何において基本的な重要性を持つ算術的リーマン・ロッホの定理に現れる同型写像を、代数曲線の族の場合に考察し、1. の結果を用いることにより、その同型写像の具体的な無限積表示を与えた。
3. リーマン面に関する古典的リウヴィル作用の正則分解公式における未決定の定数を、具体的に求めた。
4. 数論幾何の主要問題の一つであるゼータ関数の特殊値の有理性を、幾何的なゼータ関数に対して考察し、2. の結果を用いることにより、ショットキー群で一意化された3次元双曲的多様体のルエル・ゼータ関数について、その特殊値の持つ有理性と数論性を示した。
本研究の主な目的は、ウィッテン等により明らかにされたチャーン・サイモンズ理論と物理学における弦理論との関連性をさらに深く追求することにあった。上記2. で述べられた代数曲線の族についてのリーマン・ロッホ同型写像は、弦理論における弦測度として現れることが知られている。従って、数論幾何を援用して得られた上記1～3の諸結果により、チャーン・サイモンズ理論と弦理論の更に深い関連性が明らかにされ、その関連性は数論幾何と数理物理に大きな応用を持つことが示された。

Research Products

• [Journal Article] Vector-valued p-adic Siegel modular forms (2014)
  • Author(s): Takashi ICHIKAWA
  • Journal Title: J. reine angew. Math Volume: (印刷中) Issue: 690 Pages: 35-49
  • DOI: 10.1515/crelle-2012-0066
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Set-Valued Stochastic Integrals with respect Poisson Processes in a Banach Space (2013)
  • Author(s): J.Zhang, I.Mitoma, Y.Okazaki
  • Journal Title: International Journal of Approximate Reasoning Volume: 54 Issue: 3 Pages: 404-417
  • DOI: 10.1016/j.ijar.2012.06.001
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Perturbative Expansion of the Chern-Simons Integral (2013)
  • Author(s): 三苫 至
  • Journal Title: 数理解析研究所講究録 Volume: 1859 Pages: 9-30
• [Presentation] Riemann-Roch isomorphisms as infinite products (2014)
  • Author(s): Takashi Ichikawa
  • Organizer: Bundles over surfaces and Eisenstein periods for loop groups
  • Place of Presentation: 九州大学
  • Year and Date: 2014-07-01
• [Presentation] Set-valued stochastic integrals and differential equations with Poisson jump in a Banach space (2014)
  • Author(s): I. Mitoma
  • Organizer: RIMS国際研究集会
  • Place of Presentation: 京都大学数理解析研究所
  • Invited
• [Presentation] Set-valued Stochastic Integrals with respect to Poisson Processes in a Banach Space (2011)
  • Author(s): Jinping Zhang, Itaru Mitoma, Yoshiaki Okazaki
  • Organizer: Nonlinear Mathematics,Uncertainty and Applications
  • Place of Presentation: 北京
• [Presentation] Asymptotic expansion of the perturbative Chern-Simons Theory
  • Author(s): 三苫 至
  • Organizer: 日本数学会秋季例会
  • Place of Presentation: 九州大学伊都キャンパス
• [Presentation] Perturbative expansion of the Chern-Simons integral in an abstract Wiener space setting
  • Author(s): 三苫 至
  • Organizer: 量子場の数理とその周辺
  • Place of Presentation: 京都大学数理解析研究所