非正曲率空間への群作用

• Project/Area Number: 23740052
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Kobe University
• Principal Investigator: 近藤 剛史 神戸大学, 理学研究科, グローバルCOE研究員 (60467446)
• Project Period (FY): 2011
• Project Status: Discontinued (Fiscal Year 2011)
• Budget Amount: ¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000); Fiscal Year 2013: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2012: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2011: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
• Keywords: 固定点性質 / 非線形スペクトルギャップ / Wirtingerの不等式 / 非正曲率空間

Research Abstract

離散群の非正曲率空間への任意の等長作用が固定点を持つための十分条件の一つに、有限グラフのスペクトルギャップの非線形の類似物を評価するという方法がある。このため、有限グラフの非線形スペクトルギャップを評価することが研究の目的の一つであった。そのための一つのアプローチはWirtingerの不等式(正確には、Gromovによる離散類似)を用いるというもので、Pansuはこの手法でいくつかの有限グラフに対して非線形スペクトルギャップのシャープな評価を得ている。この手法がどの程度他のグラフでも使えるのかを調べるために、まずWirtingerの不等式の証明を見直し、パラメータが小さい特殊な場合にはWirtingerの不等式は本質的に非正曲率空間上の4点の間の距離が満たす不等式から導くことができることが分かった。
また、この理解に基づいて、A3型のコクセター複体の1スケルトンに対して非線形スペクトルギャップのシャープな評価ができることが分かった。この値は線形のスペクトルギャップに等しく、An型のコクセター複体に対する我々の予想の一部が証明できたことになる。この計算はより一般のコクセター複体や球面的ビルディングに対する評価を得るうえで本質的なステップであると考えられる。
また、線形のスペクトルギャップの評価法の一つであるSaloff-Costeの方法を非線形化することができ、これを用いることで、木の非線形スペクトルギャップの評価もできることが分かった。これに関してはまだ評価は粗いと思われるので、今後、より精密な評価をする必要がある。

Research Products

• [Presentation] Poincare inequality and fixed point property of isometric group actions (2012)
  • Author(s): 近藤剛史
  • Organizer: Group actions and K-theory
  • Place of Presentation: 京都大学(京都府)(招待講演)
  • Year and Date: 2012-03-15
• [Presentation] Wirtingerの不等式と非線形スペクトルギャップ (2012)
  • Author(s): 近藤剛史
  • Organizer: 淡路島幾何学研究集会2012
  • Place of Presentation: 国民宿舎慶野松原荘(兵庫県)(招待講演)
  • Year and Date: 2012-01-28
• [Presentation] ポアンカレ不等式とCAT(0)空間 (2011)
  • Author(s): 近藤剛史
  • Organizer: 多様体上の微分方程式
  • Place of Presentation: 金沢大学サテライトプラザ(石川県)(招待講演)
  • Year and Date: 2011-11-12
• [Presentation] 有限グラフの非線形スペクトルギャップ (2011)
  • Author(s): 近藤剛史
  • Organizer: 第58回幾何学シンポジウム
  • Place of Presentation: 山口大学(山口県)(招待講演)
  • Year and Date: 2011-08-28