安定層のモジュライ空間の研究

Research Project

Project/Area Number	23K03053
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	Kobe University
Principal Investigator	吉岡康太神戸大学, 理学研究科, 教授 (40274047)
Project Period (FY)	2023-04-01 – 2026-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥4,810,000 (Direct Cost: ¥3,700,000、Indirect Cost: ¥1,110,000) Fiscal Year 2025: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000) Fiscal Year 2024: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000) Fiscal Year 2023: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
Keywords	安定性 / ベクトル束 / 複体 / アーベル曲面
Outline of Research at the Start	楕円曲面構造に着目し、ほかの幾何構造と合わせることにより安定層のモジュライ空間の構造を調べる。楕円曲面上には相対的フーリエ向井変換があり、安定性の保存問題を考えることにより、異なる不変量をもつ安定層のモジュライ空間の間に関係をつける事でモジュライ空間の理解を深める。また射影直線束構造を持つ場合、生成ファイバー上のベクトル束の分類と基本変換を利用して安定層のモジュライ空間を調べる。Bridgeland安定性条件についても研究を進める。
Outline of Annual Research Achievements	代数多様体上の安定層のコホモロジー群は底空間の性質を反映し、また安定層のモジュライ空間の性質を理解する上でも重要な対象である。これまでの研究においてはしばしば曲面のピカール数を1に制限した。それにより代数多様体の変形によらない性質等が得られた。一方標準因子が数値的に自明な曲面の場合、この制限は大きな制約となる。そこでR5年度はピカール数が1でない場合の曲面として、楕円曲線の直積などのアーベル曲面の場合に安定層のモジュライ空間の性質を調べた。とくにnon-isogeneousである楕円曲線の直積について、モジュライ空間の一般元について、そのコホモロジー群がリーマンロッホの定理から期待されるふるまいをすること、すなわちweak Brill-Noether性が成り立つことを確かめることができた。モジュライ空間を調べるのに、ピカール数が2以上の場合、ample錐の形の複雑さが解析を困難にする。そこで安定性の偏極への依存性について、既存の結果等と比較しながら研究を進めた。これはIzzet Coskun (University of Illinois Chicago, USA)とHoward Nuer (Technion, Israel Institute of Technology)との共同研究である。楕円曲面上の層に対し、相対的フーリエ向井変換と相性が良い安定性を導入できるが、この安定性がある種の条件のもと相対的フーリエ向井変換で保たれることを確かめた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 部分的な結果（アーベル曲面上の安定層のモジュライ空間のweak Brill-Noether性)ではあるが、ピカール数2以上の曲面についても比較的早期に結果を得られたから。今後はこの結果の拡張を研究し、得られた結果を論文にまとめる。
Strategy for Future Research Activity	ピカール数2の楕円曲線の直積についてweak Brill-Noether性が成り立つことは確かめられることから、もっと一般の場合を調べ、それらの結果を論文としてまとめる。またほかのピカール数が1でない曲面上の安定層のモジュライ空間についてその構造を調べる。