| Project/Area Number |
23K03093
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
岩瀬 則夫 九州大学, 数理学研究院, 名誉教授 (60213287)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
蔦谷 充伸 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (80711994)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000)
Fiscal Year 2026: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | Lusternik-Schnirelmann / Topological Complexity / Diffeology / A _ infinity structure / A_infinity structure / L-S category / topological complexity / A-infinity structure / diffeology / free loop space |
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| Outline of Research at the Start |
自由ループ空間 L(X) を fibrewise A∞ 空 間として捉える fibreise L-S 理論の立場から spherical space form の TC の決定を目指す. また，将来的には微分空間（diffeological space）のアイデアを適用することで， TCの研究に微分位相幾何学的な観点と手法をもたらしたい． さらに現在のpythonを用いたプログラムのC言語を用いた全面的な刷新に取り組みたいと考えている．
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| Outline of Annual Research Achievements |
位相的複雑さというホモトピー不変量は古典的なホモトピー不変量である Lusternik-Schnirelmann カテゴリ数（cat と呼ばれる）と形式的には非常によく似た不変量であり、酒井道宏氏と岩瀬の共同研究により特別な（fibrewise な）環境ではある意味で同一であることが示されている。本研究はこのＡ∞手法を tc に適用するというアイデアがそのベースとなっており、四つの成果を発表した。
一つ目は、Ａ∞手法の側面から Fadell-Husseini の研究を主題として古典的な問題意識が重要であることを強調しつつ、Lusternik-Schnirelmann 理論や位相的複雑さについての解説を発表した。多くの人にその本質を理解して頂くのは大切な事であると考えており、さらに新しいだけの問題は結局残っていかないと信じている。
二つ目は、位相的複雑さにＡ∞構造による研究手法が有効であることを示した宮田祐也さんとの共同研究の成果である。
三つ目は、この位相的複雑さに微分構造を持ち込む目的で、滑らかな loop 空間の積を論じた論文を提出した。
四つ目は、小島勇輝さんとの共同研究で、すべての閉多様体を含む形で微分ＣＷ複体の概念を提出した。ＣＷ複体の可微分構造にはいくつもの互いに異なる概念が既に提出されていたが、どれも正の次元の多様体が微分ＣＷ複体にならないという欠点を抱えていた。そこで、この欠点を克服する新しい微分構造を与えたものである。もちろん、この新しい概念の元でもすべてのＣＷ複体は微分ＣＷ複体とみなすことができる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
発表した四つの論文は結果としては順当であるが、球面空間形式に対する位相的複雑さの決定については、python プログラムを改良し、メインメモリ１２８ＧＢの機械を用いた計算によってもいまだに一般次元の結論が得られていないのは痛恨の極みである。仮想記憶を用いて挑戦を継続したいと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
位相的複雑さについては、128GBという現時点で非常に大きなメインメモリを持つ計算機を購入して計算を行ったが、残念ながら109万行のデータに対して、91万行の時点でメモリ不足となって計算を完遂することができなかった。メモリ不足を補完する仮想メモリの使用を含めてプログラムの改良を行い、一般次元での決定に到達したいと考えている。
さらに、滑らかな loop 空間により滑らかなＡ∞構造を構成することで Toda の standard path space と測地線の幾何との関連を明らかにし、その上で「滑らかな位相的複雑さ」別の言い方をすれば「滑らかな複雑さ」を考察したいと考えている。これにより、真に具体的な物体の motion planning 問題に対する複雑さに近づく事になると考えている。
また、Muro-Tonks によるホモトピーユニタルという条件との関係を考察している。さらに、これらを微分ホモトピー論的な形に再構成したいと考えている。
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