不変式論的観点からの複素鏡映群の平坦構造の研究

• Project/Area Number: 23K03099
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Tokyo Denki University
• Principal Investigator: 三鍋 聡司 東京電機大学, 工学部, 教授 (30455688)
• Project Period (FY): 2023-04-01 – 2028-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000); Fiscal Year 2027: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2026: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
• Keywords: 鏡映群 / 平坦構造 / 不変式 / 平坦不変式

Outline of Research at the Start

有限複素鏡映群について、不変式環の「良い生成系」と軌道空間上の平坦構造の関係性の全体像が明らかにする。より具体的には、実鏡映群を含む双対性群の軌道空間上の自然な平坦構造（フロベニウス多様体構造、あるいは計量なしの斎藤構造）が不変式環の「良い生成系」から一意的に定まることを示す。次に、斎藤構造の概双対性を用いて「良い生成系」の定義をより幾何的に理解する問題に取り組み、鏡映群の不変式環の「良い生成系」という観点からの平坦構造の統一的な構成を目指す。

Outline of Annual Research Achievements

実ベクトル空間のある超平面を点ごとに固定するような位数２の線型変換を実鏡映と呼び、実鏡映で生成される群を実鏡映群と呼ぶ。有限実鏡映群の軌道空間上には、フロベニウス多様体構造と呼ばれるある種の自然な平坦構造が存在する。近年、この結果が有限複素鏡映群の場合にも拡張され、有限複素鏡映群の軌道空間上にもある種の自然な平坦構造が存在することが示された。本課題では、不変式論的な観点からこの平坦構造の研究を行なっている。鍵となるのは、佐竹によって導入された不変式環の「良い生成系」の概念である。本研究の最初の目標は「良い生成系」によって上記の平坦構造が一意的に定まることを示すことであった。この点について、小西氏との共同研究で肯定的に解決することが出来た。具体的には、双対性群というクラスの有限複素鏡映群の軌道空間上の自然な平坦構造が、佐竹の「良い生成系」によって再構成されることを示した。より詳しく述べると、不変式環の「良い生成系」を用いて、平坦構造を定めるポテンシャル・ベクトル場を表す多項式達を具体的に求めた。さらに、実鏡映群の場合には、平坦構造のポテンシャル関数を「良い生成系」を用いて明示的に与えた。以上の結果をまとめた論文は、現在投稿中である。また、双対性群とその部分群の間に良い関係がある場合に、両者の不変式の「良い生成系」の間にある種のリダクションの関係があることも分かった。これについては現在論文を準備中である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究計画の第１目標が達成されているため、概ね順調であるといえる。

Strategy for Future Research Activity

不変式論的観点から導入された「良い生成系」をより幾何学的に理解する。最終的には、アフィン鏡映群といった無限群の場合にも「良い生成系」の概念を拡張し、それによる平坦構造の特徴付けを与えたい。様々な鏡映群に対して、不変式環の「良い生成系」という観点からの平坦構造の統一的構成法の確立を目指す。