曲線、曲面を巡るアファイン微分幾何と可積分系，射影微分幾何、情報幾何との交わり

Research Project

Project/Area Number	23K03101
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11020:Geometry-related
Research Institution	Kansai University
Principal Investigator	藤岡敦関西大学, システム理工学部, 教授 (30293335)
Project Period (FY)	2023-04-01 – 2027-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000) Fiscal Year 2026: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2025: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000) Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Keywords	アファイン微分幾何 / 可積分系 / 射影微分幾何 / 曲線、曲面 / 情報幾何
Outline of Research at the Start	曲線および曲面のアファイン微分幾何を中心に現れる幾何的対象について、可積分系的観点から見た無限次元的な対称性をもつものに注目し、その本質や構造を明らかにする。特に、異なるアファイン微分幾何の間の関係性を睨みつつ、可積分系のみに限らず、射影微分幾何や情報幾何とも関わる成果を得る。また、境界付き多様体からのアファインはめ込みや退化性を許容するアファインはめ込みも研究対象とする。
Outline of Annual Research Achievements	まず、曲線のアファイン微分幾何に関して、例えば、等積中心アファイン平面閉曲線全体のなす集合はKdV階層が付随する無限次元ハミルトン系としての定式化が可能であるが、この事実は高次元アファイン空間内の曲線全体のなす集合に対しても一般化することが期待できる。そこで本年度は直線の微分同相群が作用するような等積中心アファイン曲線全体のなす集合について考察し、特に、作用に関する曲線の曲率の変換則に注目し、高次元アファイン空間内の曲線のなす集合から空間曲線や平面曲線のなす集合への同変な射影を定義し、更に、具体的な例を与えた。次に、曲面のアファイン微分幾何に関して、可積分系と関わる対象としてはアファイン球面、中心アファイン極小曲面、平坦中心アファイン超曲面といったものが知られているが、一方、射影微分幾何においては等温漸近的曲面とよばれるものが知られている。そこで本年度は射影微分幾何における等温漸近的曲面をアファイン空間内の不定値曲面に対しても一般化し、特に、等温漸近的かつ余等質性１となる不定値中心アファイン曲面の分類を行った。更に、退化性をもつアファインはめ込みの幾何に関して、例えば、余等質性１の非退化な中心アファイン曲面を調べる際には、ユークリッド微分幾何における回転面の母線に相当する曲線として、退化性を許容する中心アファイン空間曲線が現れることが観察できる。そこで本年度は３次実一般線形群の２次元部分リー群の３次元アファイン空間への作用を考察し、退化性を許す等質中心アファイン曲面の分類を試みた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本研究課題における幾つかのテーマについて、ある程度の進展が見られ、今後学術論文としての成果も発表できる見込みが立ってきた。
Strategy for Future Research Activity	当初の計画に従って研究を進めるとともに、学術論文としての成果も発表するよう努める。