| Project/Area Number |
23K03102
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
阿部 拓 岡山理科大学, 理学部, 准教授 (00736499)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2027: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | ヘッセンバーグ多様体 / トーリック軌道体 / 旗多様体 / コホモロジー環 / 不変因子 / 直線束 / Peterson多様体 / toric orbifold / トーリック多様体 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究は，ヘッセンバーグ多様体とトーリック幾何の繋がりを調べるものである．ヘッセンバーグ多様体は，旗多様体の中に定義される代数的部分集合であり，幾何学と表現論の新たな架け橋として近年活発に研究されている．その中でも，ある特別なクラスのヘッセンバーグ多様体については，特殊なトーリック軌道体と関係があることが近年分かってきた．本研究では，このような現象が起こる幾何学的な背景を解明する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，華中科技大学の曾昊智氏との共同研究で，h=(2,3,4,...,n,n)から定まる正則なヘッセンバーグ多様体とtoric orbifoldの幾何学的な関係について研究を行った．以下，詳細を説明する．
ヘッセンバーグ多様体は，ヘッセンバーグ関数と行列という2つのデータから定まる代数多様体である．ヘッセンバーグ多様体全体の中で，特に興味深いケースとして，ヘッセンバーグ関数h=(2,3,4,...,n,n)から定まる正則なヘッセンバーグ多様体がある（行列は，一般線形群のリー環の正則元をとる）．このヘッセンバーグ多様体が持つ一番大きな特徴は，有理数係数の特異コホモロジー環が，あるトーリック軌道体の特異コホモロジー環と（環として）同型になるという点にある．一般にこれら2つの代数多様体は同型ではないが，コホモロジーが持つ環構造は一致しているのである．トーリック多様体のコホモロジー環は，対応する扇における1次元推から定まる不変因子が存在し，そのChern類でコホモロジー環が生成されている．上記の一致が偶然でないと考えるならば，対応するヘッセンバーグ多様体上にも同様な因子が存在し，コホモロジー環の記述において重要な役割を果たすと期待される．両者の間の幾何学的な対応を理解するために，本年度は，h=(2,3,4,...,n,n)から定まる正則なヘッセンバーグ多様体上の因子で，上記のトーリック軌道体上の（一部の）不変因子と自然な対応を持つものを構成した．さらに，これらの因子が常にCartier因子であることを証明し，対応する直線束をヘッセンバーグ多様体上に定義した．これらはヘッセンバーグ多様体がもつ群作用の下で不変な因子全てを与えており，2次のコホモロジー群におけるeffective coneを生成するということが証明できた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の主の目的は，h=(2,3,4,...,n,n)から定まる正則なヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環と，あるトーリック軌道体のコホモロジー環の間の関係を，幾何学的に理解することである．本年度の研究では，直接的な関係を記述するところまでは至っていないが，余次元1の部分多様体のレベルでの対応は見れるようになった．この意味で，本研究課題はおおむね順調に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
h=(2,3,4,...,n,n)から定まる正則なヘッセンバーグ多様体上の直線束で，トーリック軌道体上の直線束と自然に対応するものを構成することができたので，今後はこの直線束の切断とトーリック軌道体の斉次座標を用いて，両者の間の写像の構成に挑みたい．
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