関数空間におけるマルチンゲールの諸性質：フィルトレーションごとの研究

• Project/Area Number: 23K03146
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: University of Toyama
• Principal Investigator: 菊池 万里 富山大学, 学術研究部理学系, 教授 (20204836)
• Project Period (FY): 2023-04-01 – 2028-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000); Fiscal Year 2027: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2026: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: マルチンゲール / 重み付き不等式 / フィルトレーション / Banach関数空間 / ノルム不等式 / ノルム収束

Outline of Research at the Start

本研究では、再配列不変性を仮定しない(準)Banach関数空間Ｘにおけるマルチンゲールの諸性質((準)ノルム不等式や(準)ノルム収束など)が維持されるための十分条件・必要条件をフィルトレーションごとに導出する。関数空間Ｘが荷重Lebesgue空間のように再配列不変性を持たない空間の場合には、マルチンゲールの諸性質が維持されるための十分条件・必要条件は、空間Ｘだけでなく、フィルトレーションに依存することが予想される。本研究では、フィルトレーションごとに、Ｘにおいてマルチンゲールの諸性質が維持されるための十分条件・必要条件を導出することを目指す。

Outline of Annual Research Achievements

令和５年度は、固定された確率空間上のマルチンゲールが作る空間上の劣線形作用素に対して、その重み付き不等式の研究を進めた。確率空間上の荷重（期待値が1の正値確率変数）wがフィルトレーションF=(F_n)に対してA_p-条件(1<p<∞)を満たすとは、E[(w_n/w)^(1/(p-1))|F_n](n=1,2,3,...)が一様有界な確率変数列になることである。ここにw_nはwのF_nに関する条件付平均値E[w|F_n]を表す。これは実解析学に於けるMuckenhouptのA_p-条件の確率論的類似である。
実解析学に於いては、「劣線形作用素Ｔがある固定されたp(1<p<∞)とA_p-条件を満たすすべての荷重wに対して、荷重Lebesgure空間L^p(w）からそれ自身への有界作用素であれば、任意に固定したq(1<q<∞)に対して、ＴはA_q-条件を満たすすべての荷重vに対してL^q(v)からそれ自身への有界作用素になる」ということが知られている。マルチンゲール理論においても同様の命題が成り立つことが予想される。令和５年度には、この問題を解決すべく研究を進めた。その結果、ある特定のフィルトレーションについては、求める結果が得られた。しかしながら、一般のフィルトレーションを考察する場合、「同様の命題が成り立つためには、フィルトレーションが正則性のような良い性質を持っていなければならないであろうと」ということが分かってきた。この研究について、まだ目指す結論には至っていないが、このようにフィルトレーションに大きく依存する性質を明快にすることが本研究の主要な目的であることを思えば、引き続きこの研究を進めることは重要であると考えられる。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

これまで長くマルチンゲール理論の研究に携わってきた研究代表者の経験から、フィルトレーションに依存するマルチンゲールに関する性質は取り扱いが難しいことが予想された。それを知った上で（それを知っているからこそ）敢えてフィルトレーションに大きく依存する性質を本研究の主題とした。令和５年度に実施した研究もフィルトレーションに強く依存した性質の研究であり、簡単に成果の得られる研究ではないことを予想していた。その一方で、研究の結果、ある特定のフィルトレーションについては、予想される結果が成り立つことが分かった。それだけで論文として発表するには十分な結果とはいえないため、更なる研究が必要であるが、目指す成果が明確になったこと、部分的な成果が得られていることから「おおむね順調に進んでいる」と判断した。

Strategy for Future Research Activity

令和６年度は令和５年度に引き続き、「劣線形作用のL^p(w)に於ける有界性とA_p-条件に関する研究」を進める。更にこの研究が順調に進めば、「劣線形作用素Ｔがある固定されたp(1<p<∞)とA_p条件を満たすすべての荷重wに対して、L^p(w）からそれ自身への有界作用素であれば、任意に固定したq(1<q<∞)に対して、上Boyd指標が1/qより小さい再配列不変空間XにA_q-条件を満たす荷重vを施した空間X(v)上でTが有界作用素になる」という予想を証明する研究を進めたい。
令和５年度に実施した「劣線形作用のL^p(w)に於ける有界性とA_p-条件に関する研究」がうまく進まない場合には、固定したフィルトレーションF=(F_n)に関するマルチンゲールに対して、Doob型、Burkholder-Davis-Gundy型の不等式の成り立つBanach関数空間Xが満たす十分条件を導く研究に切り替えて、研究を進める。