| Project/Area Number |
23K03149
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
平田 賢太郎 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (30399795)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000)
Fiscal Year 2026: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | ポテンシャル解析 / 半線形楕円型方程式 / 境界挙動 / ポテンシャル論 / 準線形楕円型方程式 |
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| Outline of Research at the Start |
滑らかな領域に限らずフラクタル的境界をもつ複雑領域において，劣線形項をもつ定常Schrodinger方程式及び負冪の非線形項をもつLane-Emden方程式（系）のゼロDirichlet境界値問題の正値解の存在・非存在・一意性・境界挙動の解明を試みる．これらの方程式の正値解に対する境界付近での評価であるCarleson評価や境界Harnack原理の考察から始め，より一般に，解の冪乗や勾配の冪乗を含む非線形項をもつ準線形楕円型方程式の正値解に対する先験的一様評価や先験的増大評価が成立するための同値条件を探り，ポテンシャル論の観点から様々な問題の提起と解決を図る.
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| Outline of Annual Research Achievements |
2008年（滑らかな領域の場合）と2010年（滑らかでない領域の場合）の論文において，優線形劣臨界（冪が1より大きく或る数より小さい場合）な非線形項をもつLaplace作用素に関する半線形楕円型方程式の任意の正値解に対する境界増大評価を与え，それを応用して2021年の論文では，境界の一部で0となる正値解に対して境界Harnack原理（２つの正値解の比に対する評価）を確立し，境界に孤立特異点をもつ正値解の存在や漸近挙動および特異点の除去可能性を明らかにした．さらに，その議論を拡張し，Schrodinger作用素の場合にも同様のことが成り立つことがわかった．
今年度は，「劣線形」の場合を考察した．つまり，冪が正かつ1未満である非線形項をもつSchrodinger作用素に関する半線形楕円型方程式の正値解に対して境界Harnack原理が成り立つことを証明し，0-Dirichlet境界値問題の任意の正値解に対する両側評価を与え，解の一意性を明らかにした．解の存在は従来の逐次近似法で示すことができる．劣線形の場合，境界増大評価（上からの評価）ではなく，境界減少評価（下からの評価）を示すことで，先行研究で開発した反復議論を適用して境界Harnack原理を証明することが可能になった．Laplace作用素の場合，両側評価があると解の一意性は反復議論などで容易に示すことができるが，Schrodinger作用素の場合には適用できない．両側評価と1994年の相川氏の優調和関数の可積分性の結果により，方程式のテスト関数として解を用いることが可能になり，解の一意性を証明することに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
最終目標はより一般のフラクタル境界をもつ領域上での研究であるが，Lipschitz領域において劣線形な非線形項をもつSchrodinger作用素に関する半線形楕円型方程式の正値解に対して様々な性質を導出することができたため，順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
この20年において，劣線形楕円型方程式の研究が盛んに行われ，近年では局所コンパクトHausdorff空間上の積分方程式の理論へと展開している．関連論文の精読と海外研究者との交流を行いつつ，当初研究に拘らず研究の進展に努める．
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