| Project/Area Number |
23K03168
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
北 直泰 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 教授 (70336056)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2027: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2026: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 非線型シュレーディンガー方程式 / 解の漸近挙動 / 解の減衰評価 / 2乗ノルムの減衰 / 一様ノルムの減衰 / 解の爆発 |
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| Outline of Research at the Start |
①非線形消散項と②非線形増幅項を含むシュレーディンガー方程式について、解の挙動を明らかにする。この研究は一部、光ファイバー工学との関わりがある。①非線形消散項を含む場合、解の減衰評価と漸近挙動を求めることが主目的になる。（特に大きな初期データで解の減衰オーダーを特定することに興味がある。）②非線形増幅項を含む場合、有限時刻で爆発する解を構成することが主目的になる。（特に小さな初期データで爆発解を構成することに興味がある。）①と②について、既存の結果がいくつか知られている。しかし、初期データおよび非線形項の係数やベキに制約がついているので、これらの条件を緩めたい。
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| Outline of Annual Research Achievements |
■【Journal of Mathematical Sciences に掲載決定】Hayashi-Li-Naumkin の結果では、強消散条件と呼ばれる強い消散性劣臨界ベキ p の非線形項をもつ空間 N 次元シュレーディンガー方程式の解（サイズの制限なし）が L^2-ノルムの意味で減衰オーダーが O(t^{-d}) (ただし、d = 1/(p-1) - N/2) になることが示されている。本研究では、強消散条件を省いて、通常の消散性をもつ方程式でも、初期データのサイズの制限なしに、解の L^2-ノルムが上記と同等の減衰オーダーを示すことを証明できた。証明の手法は、方程式の両辺に解の時刻微分（の複素共役）を掛けて導くエネルギー評価である。
■【国際研究集会ISAACの proceedings に掲載決定】北-中村-佐川による共同研究では、連立系消散型非線形シュレーディンガー方程式の解に対して、L^∞ノルムの減衰評価（減衰オーダー O(t^{-1/2}(log t)^{-1/2})）を得ている。令和5年度の研究では、この減衰オーダー O(t^{-1/2}(log t)^{-1/2}) が最適なものである事を示した。ここで「減衰オーダーが最適である」とは、方程式の解が t → ∞ のときに、もし t^{-1/2}(log t)^{-1/2} よりも早く 0 に潰れたと仮定すると、その解は恒等的に 0 (自明解)になることと意味する。証明の手法は次の3つのステップからなる。(Step 1) 解の L^2-ノルムの減衰について、上からの減衰評価と下からの減衰評価を示す。(Step 2) 実は、上からの減衰評価のほうが下からの減衰評価よりも早く減衰するので、これから解がある時刻で 0 になっていることが示せる。(Step 3)過去に向かって方程式を解くことで、自明解であることを示す。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
■近年、熊本大学には非線形分散型方程式を専門とする若手の研究者と博士課程の学生が多数所属するようになった。そのため、当該研究に関する意見交換が活発化し、様々なアイデアが若手研究者から提出されるようになった。本研究代表者が教育や組織運営で多忙を極めているときには、若手研究者と学生が論文の執筆にあたる体制が自然発生的に構築されたことが、研究を順調たらしめている主な要因である。
■日本には非線形分散型方程式を専門とする研究者や学生が他国に比べて多く存在している。最近、本研究代表者の研究対象である消散型非線形シュレーディンガー方程式に関心を寄せる研究者が現れ始めて、メールやZoomで共同研究が活発に行われるようになった。
■実は、フランスや韓国の研究者も本研究代表者と同じ方程式を取り扱っていることが判明し、自ずと鎬を削る状況になっている。特に、フランスの研究者は自分の研究室に数名の研究生と博士課程学生を受け入れて、チームで問題を解決するスタイルを取っている。これと似たような状況が、現在の熊本大学にも出来上がっていることが、研究を順調に推し進められている原因なのだろう。
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| Strategy for Future Research Activity |
■(1)強消散条件を省いて、大きな初期データでも解の減衰評価や漸近挙動を導出する。attractive な非線形項の場合に困難が付きまとっているので、この困難を乗り越える手法を編み出す。(2)今まで非線形シュレーディンガー方程式の非線形 Kerr 効果を表す部分と非線形消散効果を表す部分でベキが等しい場合を取り扱ってきた。これらのベキを違えて、より一般的な非線形項で解の減衰評価や漸近挙動を導く。そして、解のサイズの制限を取り払うために、どのような条件が有用なものになるのか見定める。(3)非線形項が増幅効果を有する場合、Kawakami-Machihara により、「強増幅条件」の下で、小さな初期データであっても有限時刻で爆発する解の存在が示されている。この「強増幅条件」を外して同様の爆発解の存在を示す。（実は、強消散条件を外して大きな初期データであっても解の減衰をしますことができたので、この結果を利用することで証明ができそうなところまで到達している。）(4)Kinetic 非線型シュレーディンガー方程式の解の漸近挙動を導出する。（あらかた証明はできているが、解の時刻に関する連続性の部分で困難がある。証明の手法がエネルギー法に依存しているため生じる困難である。これをどのように克服すべきか？）
■消散型非線形シュレーディンガー方程式では、Ogawa-Sato により、解の正則性が L^2-ノルムの減衰を改良することが知られている。現在 Sato によって、解が解析的である場合に最良のL^2-減衰オーダーが得られている。解析性を超える滑らかな関数空間で解を構成できれば、L^2-減衰オーダーがもっと改良されていくはずだが、そのような関数空間では時間局所解を構成することさえ難しい。もしかすると、解析性を超える非常に滑らかな関数の空間では、非線形効果により解が非適切になるのではないか。
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