変分的手法の発展と非線形偏微分方程式や凸幾何学への応用
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23K03189
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Meijo University |
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Principal Investigator |
柴田 将敬 名城大学, 理工学部, 准教授 (90359688)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2027: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | Mahler予想 / 凸幾何学 / 変分問題 / 非線形楕円型方程式 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究は、非線形偏微分方程式や凸幾何学における変分問題を研究対象とし、変分的手法のさらなる発展を目論むものである。より具体的には次の2つがメインのテーマとなっている。
・半線形楕円型方程式に関連する変分問題において、Palais-Smale列の有界性・コンパクト性が生み出される数理的な背景を解明すること。
・凸幾何学における変分問題の一つである、Mahler予想を解決すること。
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| Outline of Annual Research Achievements |
凸幾何学における未解決問題であるMahler予想に関する研究を行った。
より詳しくは、3次元ユークリッド空間に作用する直交群であるO(3)の部分群Gを指定し、Gの作用に関する対称性を持つ3次元ユークリッド空間内の凸体全体に関してvolume productを最小化する問題に関する研究を推進した。この研究内容は、我々の結果[Iriyeh-Shibata, Duke Math. J. 169 (2020), no. 6, 1077-1134], [Iriyeh-Shibata, Discrete Comput. Geom. 68 (2022), no. 3, 738-773]を発展させるものである。
特に、GがSchoenflies記号でD_2, S_4と表される群である場合について研究を行い、それぞれの場合に、最良の不等式を示す部分について証明がほぼ完了した。さらに、最小値を達成する等号成立条件に関する研究にとりかかり、その部分については、当初の予定より複雑で繊細な議論が必要であることが判明した。
これらの結果は、入江博氏（茨城大学）との共同研究に基づくものである。
その他、既に掲載が決定していた論文[Iriyeh, Hiroshi; Shibata, Masataka "Minimal Volume Product of Convex Bodies with Certain Discrete Symmetries and its Applications". Int. Math. Res. Not. IMRN (2023), no.21, 18001-18034]が掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Mahler予想に直接関連した問題として、一般的な対称性を持つ凸体のvolume productの最小化問題に関して、3次元の場合に[Iriyeh-Shibata, Discrete Comput. Geom. 68 (2022), no. 3, 738-773]では未解決であった部分について、D_2対称性、S_4対称性に関する部分の最良不等式が得られたが、それぞれの等号成立条件については未解決であり、次年度以降の課題として持ち越しになったため。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き入江博氏との共同研究を進め、まずはD_2対称、S_4対称な3次元凸体のvolume product最小化問題に取り組み、等号成立条件を明確化することを目的とし研究を行う。
その問題が解決した後は、S_2n対称性やC_n対称性を持つ3次元凸体に関する研究を行う。
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Report
(1 results)
Research Products
(1 results)
