| Project/Area Number |
23K03200
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12030:Basic mathematics-related
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
倉橋 太志 神戸大学, システム情報学研究科, 准教授 (10738446)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2027: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2026: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 不完全性定理 / 数学基礎論 / 数理論理学 / 証明可能性述語 / 形式的算術 / 証明可能性論理 / 様相論理 / 部分保存性 / 算術のモデル |
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| Outline of Research at the Start |
本研究は，(A) 証明可能性述語と第2不完全性定理，(B) 証明可能性述語の様相論理，という二つの側面からの分析を主軸におき，形式的証明および形式的証明可能性の構造や挙動を解明することを試みるものである．
(A) 第2不完全性定理は無矛盾性を表す文の証明不可能性を主張する定理群であり，これらの背景にある本質的な現象を理解することを目指す．
(B) どの様相論理に対して対応する証明可能性述語をとることができるのか，という問題を通じて証明可能性述語のもつ性質のより精密な理解を目指す．
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 様相論理と中間論理のLyndon補間性：Craig補間性をもつ中間論理がちょうど7個であることが知られているが、それらのうちの6個が更にLyndon補間性を持つことが知られていた。今回はS4の正規拡大論理に対するLyndon補間性の分析を行い、結果として残る1個の中間論理LVもまたLyndon補間性を持つことを証明した。
(2) スマリヤンの証明と真理：Smullyan は2013年の``Truth and Provability''と題した記事において、文字列操作に簡単な枠組みを導入し、第一不完全性定理やタルスキの真理定義不可能性定理の証明の構造を解説することを試みた。本研究ではSmullyanの試みをより数学的に厳密に定義し、Smullyanの議論の再構築と、更にはこの枠組みが算術に何をもたらすのかを分析した。本研究は冨永浩平（神戸大）との共同研究である。
(3) 部分保存的な文その1：部分的な保存性を満たす文の存在は不完全性定理の文脈においていろいろな分析が行われてきた。特に2022年に発表した成果によって複数の理論に同時に保存的となる文の分析が大幅に進展した。今回はこれに続き、より多くのクラス Γ について、同時にΓ-保存的となる文の分析を行った。結果として、Guaspari (1979) の問題を解決することができた。本研究は小暮晏佳（神戸大）との共同研究である。
(4) 部分保存的な文その2：φ が Σ_n-保存的で，￢φ が Π_n-保存的であるような Π_n 文の存在はSolovayによって証明されている．今回はφ が Γ-保存的で，￢φ が Δ-保存的であるような Θ 文の存在を多くの組 (Γ, Δ, Θ)に対して分析した。本研究は小暮晏佳（神戸大）との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は質の高い研究を行うことができたと考えている。まず、第一不完全性定理に関しては様々な部分保存的な文の存在に関する Guaspari の問題を解決できたことに始まり、Solovay 型の保存的な文の分析など、個人的な課題であった研究がひと段落したといえる。また、Smullyan の枠組みからの不完全性定理の研究という新たな方向性のプロジェクトを進められたことも大きい。更に、論理学的な視点では、補間性に関する研究に重要な進展があった。
以上の観点から、研究計画はおおむね順調に進展していると判断する。得られた研究成果についてはいずれも学術雑誌に投稿した．
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は特に第二不完全性定理周辺の分析を進めることを検討している。証明可能性述語に関する分析について、導出可能性条件と様相論理の双方から部分的な結果が得られているので、研究を本格的に開始することを計画している。
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