辺着色されたグラフの連結構造に関する研究

Research Project

Project/Area Number	23K03202
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12030:Basic mathematics-related
Research Institution	Yokohama City University
Principal Investigator	藤田慎也横浜市立大学, データサイエンス学部, 准教授 (60424206)
Project Period (FY)	2023-04-01 – 2028-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000) Fiscal Year 2027: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywords	グラフの連結度 / 辺着色グラフ / 極値グラフ理論 / 高連結グラフ / ラムゼー型問題
Outline of Research at the Start	先述した用語をもとに記述する以下の予想について、その解決を目指すことが本研究の概要である。予想Ｆ．「整数n>k>1に対して、n頂点からなる辺着色グラフGが単色ｋ連結であるとする。このとき、Gが含む色数の上限は\|E(G)\|-\|E(H)\|+1である。ここで、HはGが含む極小ｋ連結全域部分グラフのなかで、辺の数が最小なグラフである。」
Outline of Annual Research Achievements	本研究の目的は、グラフの辺に色が塗られた辺着色グラフの構造解明であり、特に、「グラフの任意の2頂点が単色なパスでつながれているという単色連結という構造が保証されるためにはグラフに塗られている色は最大で何色使用されることまで許されるか？」という辺着色グラフに関する極値問題の解を与えることを目的としている。辺着色グラフにおける単色連結性については、近年活発に研究が進められており、様々な定理が知られているが、本研究では単色連結性の高連結版について同様の極値問題について考察している。この問題を扱う上でグラフの辺に色は施さない高連結グラフの構造研究が特に重要であり、今年度では取り除いても連結度がほとんど下がらない非分離パスの存在に関する研究を推進し、成果をまとめた論文を投稿することが出来た。また、辺着色グラフ上の構造研究では、単色連結性を阻害する構造としてしばしば障害となっている、すべての辺が異なる色を持つ、いわゆる虹色部分グラフの存在に関する考察が重要であるため、４頂点閉路からなる虹色部分グラフの存在に関する研究を推進し、一定の成果を得ることが出来た。得られた当該成果については年度末に米国で開催されたグラフ理論の国際会議で成果発表を行った。この他、重み付きグラフ上の頂点彩色で良い順序を持つような彩色を実現するためのグラフの辺の向き付けに関する研究成果が当該分野の研究を進める上で有用な補題となり得るため、これについても研究を推進し、成果をまとめた論文を投稿することが出来た。今年度の主な研究成果としては、これら投稿論文の採択待ちという状況である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 研究計画に基づいて得られた成果をまとめた論文を2篇投稿することが出来たため、本研究については概ね順調に進展していると思われる。
Strategy for Future Research Activity	先述したように、研究は概ね順調に進展しているため、このペースで研究を推進し、引き続き論文投稿、学会発表等で成果を発信してゆきたい。