Study of natural representation for control systems based on the natural transformation

Research Project

Project/Area Number	23K03914
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 21040:Control and system engineering-related
Research Institution	Tokyo City University
Principal Investigator	関口和真東京都市大学, 理工学部, 准教授 (80593558)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	薄良彦京都大学, 工学研究科, 准教授 (40402961) 岩瀬将美東京電機大学, 未来科学部, 教授 (50339074)
Project Period (FY)	2023-04-01 – 2026-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000) Fiscal Year 2025: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000) Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Keywords	制御システム表現 / 圏同値 / クープマン作用素 / 分数階微分システム
Outline of Research at the Start	本研究の究極的な目的は制御システムの持つ本質的な構造を明らかにし，複数存在するシステム表現を統一的に扱えるようにすることである．第一ステップとして第一原理モデルが有する隠れた線形性をシステムの持つ本質的な構造の一つとして着目する．可逆な変換が存在するとは限らない複数のシステム表現を統一的に扱うための手段として，対象の数学的構造と対象間の関係を扱う数学の一分野である圏論に基づくアプローチを採用し，隠れた線形性という構造を第一原理以外の方法で構築されたシステム表現に自然に伝播させる．本研究ではこの手続きをドローンなどの具体的な対象に対して実施しながら方法論として体系化することを目的とする．
Outline of Annual Research Achievements	圏論を用いた制御システム表現の探求に関する具体的なアプローチとして、ニューラルネットワークを用いたデータと状態空間モデルをつなぐモデル表現の探求に取り組み、微分方程式を教師とした学習によってデータがある程度再現可のであることを明らかにした。圏論におけるシステム表現としては、システムの伝達関数表現および制御器を含めた閉ループ系の表現を圏論的に表現しなおしたString diagramや、非線形システムも表現可能な左不変制御システム圏、ビヘイビアアプローチに対象としたProp LTI圏などの圏が知られている。これらのうちString diagramとProp LTI圏を対象に具体的な制御対象を表す部分圏の構成および圏間をつなぐ関手の構成可能性を探り、データに基づくシステム表現の一つであるボード線図の圏論的な解釈について検討を進めた。クープマンアプローチに関する圏論的な解釈としては、非線形の流れをスイッチで合成した系へのクープマン作用素の導入と固有関数の性質を検討した。分数階微分システムに関しては、解軌道を表現する行列Mittag-Leffler関数と現代制御理論の枠組みに現れる行列指数関数と対比しながら、その性質を調査した。ともに行列を含む無限級数として定義され、行列Mittag-Leffler関数の特殊な形として行列指数関数が表現される中で、行列指数関数には成立する指数演算則が、Mittag-Leffler関数には適用できないという違いから、Mittag-Leffler関数で表現される分数階システムでは、時刻tから一旦逆写像（-t遡る）で初期状態まで戻り、そこからt+T秒間発展させなければならないとの結論を得た。この逆写像と順写像の組み合わせによる任意時刻からの解軌道発展が得られたことから、分数階システムの離散化方法が確立された．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason ボード線図上の解析に基づき設計された制御則の特徴を状態空間上の制御理論として特徴づけるために、伝達関数表現を圏として表現したString diagramとビヘイビアによるシステム表現を圏として表したLTI圏の関係を参考に探求を進めてきたが、微分方程式や一つの伝達関数として表現しきれないデータ集合のシステム表現であるボード線図をどのような圏として捉え、既知のシステムを表現する圏との間にどのような関手が構成可能かの探求に時間がかかっているため、進捗として遅れていると認識している。
Strategy for Future Research Activity	ボード線図として表されるデータはさまざまな次数で近似することで、それぞれが一つのLTI圏などとして表現されることになる。データを通して表現される一つの制御対象はそれら圏の集合として捉えられることから、ボード線図をもとに設計された制御器Cが各圏においてどのような制御仕様を満たしているのかを探求する。その重なりとして制御器Cがデータを通して表現される制御対象に対して何を実現しているのかを明らかにすることを目指す。制御仕様と制御器の関係を明らかにするツールとしてはビヘイビアに基づく解析が有効と考えており、ビヘイビアに対応した圏であるprop LTI圏を通した解析に重点を置いていく予定である。クープマン作用素や分数階微分システムを切り口としたアプローチにおいてはそれぞれ成果が出てきており、今後発表できる形にまとめていくと共に、圏論的な考え方で整理に取り組んで行く予定である。