Exploring the Function to Show the Limit of Log-space Computation Models

• Project/Area Number: 23K10981
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 60010:Theory of informatics-related
• Research Institution: Ochanomizu University
• Principal Investigator: 長尾 篤樹 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 講師 (20802622)
• Project Period (FY): 2023-04-01 – 2027-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000); Fiscal Year 2026: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2025: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: 分岐プログラム / 対数領域計算モデル / 計算量クラスの分離 / 計算量理論

Outline of Research at the Start

我々が扱う問題は、それを解決するためのどの程度のリソースが必要となるかという観点から様々な分類が可能である。その分類先は「クラス」と呼ばれ、あるクラスが別のクラスを内包したり、元となる計算モデルが異なる一方で含む問題が同一となるクラスも存在する。これらのクラスのうち、対数領域計算モデルで解決可能な問題の集合と多項式時間計算モデルで解決可能な問題の集合が真に異なる事を証明することが本研究の究極の目的となる。
対数領域計算モデルとは、問題のサイズの対数規模のメモリを利用して問題を解くモデルであり、そのモデルでは解くことのできない問題を模索することが本研究の本質となる。

Outline of Annual Research Achievements

本研究の最終目標は対数領域計算クラス（L）を多項式時間計算クラス（P）から分離させることである．そのために対数領域計算モデルにおける計算能力の限界を解明し，クラスPとクラスLとが異なるかどうかという問題を解決するものである．対数領域計算クラスの計算限界の解明のために分岐プログラムという計算モデルの解析を行うアプローチがあり，本研究もそのアプローチをとっての研究を行った．
本研究では計算モデルの限界を示す関数の模索を主目的としており、これまで多くの研究の対象とされた木構造関数値評価問題をはじめ、その変種となる深さ優先探索で解決可能な問題や、NL完全な2-SAT等の解析を計画している。
関連研究として三分木上の木構造関数値評価問題を解くSemantic Read-once 分岐プログラムのサイズが超多項式となることを示す論文が出版されいる．これに対し，本研究では既存の証明手法をより一般化することで五分木上の木構造関数値評価問題を解くSemantic Read-once 分岐プログラムのサイズも超多項式となることを示した．
本結果は，根以外が偶数次数となる木を構造として持つ木構造関数値評価問題まで制限を緩和しても超多項式下界を示すことが強く示唆できる結果となっている．本研究をさらに発展させ，Semantic Read-onceという制限を完全に撤廃することでも同様に超多項式下界を示すことができれば対数領域計算モデルの限界を示すことができるが，残念ながらこの制限を撤廃する方向での研究は進展していない．また，今年度の結果をより一般化させた結果は来年度以降に学術会議等にて発表予定である．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

木構造感数値評価問題の亜種に対しての超多項式下界を、制限を持つ対数領域計算モデル上ではあるが示すことができた。本研究を拡張することで当初の目的を達成することが見込められる。
NL完全な問題に対しての対数領域計算モデルの計算限界に関しては試行錯誤の段階を脱却できてはいないが、まずは進展の可能性が見えている木構造感数値評価問題に特化させる研究を行うことで、インパクトの強い結果が出るのではないかと期待できる。

Strategy for Future Research Activity

本研究の成果を拡張し、国際会議等で発表することが自然な進展である。その場で広く最先端の研究者から意見を集め、対数領域計算モデルに課している制限を撤廃する方向で研究を進めていく。
制限を持たない対数領域計算モデルに対して直接アプローチを取ることも考えられ、これは先行研究が多くは存在しないNL完全な問題を解く対数領域計算モデルに対して期待が持てるので、こちらも合わせて研究を進めていく。