| Project/Area Number |
23K12954
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Mie University |
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Principal Investigator |
中村 力 三重大学, 教育学部, 准教授 (40966602)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | big Cohen-Macaulay加群 / Gorenstein整環 / 安定圏 / コンパクト生成三角圏 / pure-injective加群 / Cohen-Macaulay加群 / generic加群 / 第二Brauer-Thrall予想 / 無限表現型 |
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| Outline of Research at the Start |
体上の有限次元代数が無限表現型を持つことは、無限生成直既約加群の存在性と同値であり、これを一つの動機として無限生成表現の理論が発展してきた。無限生成直既約加群の中で特に重要なものとしてgeneric加群があり、第二Brauer-Thrall予想や表現型のtame性と深く関係している。本研究では、有限次元代数の表現論の一般化である整環のCohen-Macaulay表現論においてgeneric加群の理論を構築し、この文脈における第二Brauer-Thrall予想や表現型のtame性との関係を見出すことを目指している。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究を始めた時点では、generic加群のCohen-Macaulay版の定義には、加群圏に基づいた（強い）定義と、Gorenstein整環上のGorenstein-flat cotorsion加群の安定圏に基づいた（弱い）定義の2つの候補があった。これらは自己移入的有限次元代数の場合には一致するため、同様の可能性を精査する必要があった。結論としては、安定圏のgeneric対象であるが、generic加群にはならないweak big Cohen-Macaulay加群の例を得るに至り、2つの定義が異なることが判明した。これによって、加群圏よりも寧ろ、安定圏のgeneric対象を探ることが本質的となった。
generic対象は、endofinite（自己準同型環上で長さ有限）という性質をもつ対象の特別なものであるが、加群圏のpurityやendofiniteな対象に関する特定の事実が、コンパクト生成三角圏の場合に成り立つか分かっておらず、この部分を肯定的に解決することが今年度の課題として残った。
また、Michal Hrbek氏とJan Stovicek氏との共著論文の改訂を行い、Nagoya Mathematical Journalからの出版まで至った。この論文は、本研究課題で扱うweak big Cohen-Macaulay加群のクラスを傾理論的に考察する上で有用な結果を提供するものである。関連する他の研究としては、局所コホモロジー加群に対するweak big Cohen-Macaulay近似について調べ、その構造と、整環のGorenstein性とを結び付ける定理を得た。さらに、コンパクト生成三角圏のpurityに関する事実の調査で得た知見から、任意の可換ネーター局所環に対して、直既約かつ完備なpure-injective big Cohen-Macaulay加群が存在するという定理を得た。これらの結果は論文として執筆中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究を遂行する上で、コンパクト生成三角圏のpurityやendofiniteな対象の理論を用いるが、これ自体を部分的に発展させる必要が生じたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
加群圏の場合を参考にし、コンパクト生成三角圏のpurityやendofiniteな対象について、本研究で必要な主張の証明を与える。これができれば、一定の成果に繋げることができる。また、Cohen-Macaulay表現における第二Brauer-Thrall予想やtame性について、安定圏のgeneric対象の存在性との関係を探る。
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