遅延微分方程式の力学系理論の基礎整備と応用探索

Research Project

Project/Area Number	23K12994
Research Category	Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
Allocation Type	Multi-year Fund
Review Section	Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
Research Institution	Tohoku University
Principal Investigator	西口純矢東北大学, 材料科学高等研究所, 助教 (60813392)
Project Period (FY)	2023-04-01 – 2027-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥4,810,000 (Direct Cost: ¥3,700,000、Indirect Cost: ¥1,110,000) Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2025: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000) Fiscal Year 2024: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000) Fiscal Year 2023: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
Keywords	局所半流れ / 多価力学系 / 位相空間 / オメガ極限集合 / 遅延微分方程式 / 遅れ型関数微分方程式 / 無限次元力学系 / 定数変化法公式
Outline of Research at the Start	因果律にタイムラグを有する時間発展システムを時間遅れ系と呼ぶ．時間遅れ系の微分方程式モデルである遅れ型関数微分方程式は連続関数の空間において定式化されるにもかかわらず，線型方程式の基本行列解や非斉次方程式の定数変化法公式を得ようとすると，ある種の不連続な関数が生じるという概念的困難さがある．本研究では，この困難さを乗り越えて遅れ型関数微分方程式の力学系理論の基礎を整備する．また，今後の応用の探索も目標とする．
Outline of Annual Research Achievements	連続時間の力学系は，典型的には微分方程式の初期値問題から得られる．微分方程式の解の振る舞いであるダイナミクスを力学系として考察する際には，初期値問題の解がすべての$t \ge 0$で定義されること，および解が一意であることは通常，仮定される．これらの性質は微分方程式の初期値問題の「適切性」の条件の一部となっている．しかしながら，解がすべての$t \ge 0$で定義されているとは限らない微分方程式の初期値問題や，解が一意とは限らない微分方程式や微分包含式を考えることができる．前者に対しては局所半流れという概念が，後者に対しては多価半流れという概念が用いられる．これらの「解の時間に関する局所性」と「軌道が多価であること」を組み合わせたときに何がもたらされるかを調べるために，位相空間における"non-global multivalued semiflow"に関する理論を発展させた．具体的には，"non-global multivalued semiflow"に対する極小モデルである\textit{multi-valued quasi-semiflow}の概念を導入した．これにより，本研究は局所半流れと多価半流れの研究の単なる統合以上のものとなる．位相空間上のmulti-valued quasi-semiflowに対して，相空間の各点$x$の多価運動を考える．この多価運動があるコンパクト集合にclusterするとき，多価運動のオメガ極限集合が空集合でないことを示した．さらに，この非空性が多価運動の最大存在時間の無限性を導くことを明らかにした．これらの結果は，位相空間における"non-global multivalued semiflow"の力学系理論の基礎を与えると考えられる．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本研究は，状態依存遅れを持つ微分方程式の力学系理論の基礎を与えると考えられるため．
Strategy for Future Research Activity	具体的な非線型遅延微分方程式の解析を通して，遅延微分方程式に対する不変多様体や分岐理論を整備する．