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Categorical Duality and Semantics Across Mathematics, Informatics and Physics and their Applications to Categorical Machine Learning and Quantum Computing

Research Project

Project/Area Number 23K13008
Research Category

Grant-in-Aid for Early-Career Scientists

Allocation TypeMulti-year Fund
Review Section Basic Section 12030:Basic mathematics-related
Research InstitutionAdvanced Telecommunications Research Institute International

Principal Investigator

丸山 善宏  株式会社国際電気通信基礎技術研究所, 佐藤匠徳特別研究所, 研究員 (20761290)

Project Period (FY) 2023-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000)
Fiscal Year 2024: ¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000)
Keywords圏論的双対性 / 圏論的意味論 / 圏論的論理 / 圏論的量子力学 / 量子トポス理論 / 圏論的機械学習 / 圏論的人工知能 / 圏論的量子計算 / 圏論的量子力学・量子計算
Outline of Research at the Start

双対性は科学の諸分野を横断して広範に観察される数理現象である。フーリエ変換が本質的にポントリャーギン双対性に基づくように、双対性は工学的にも豊富な応用を持つ。双対性理論はそれらに対して統一的な視点を提供し、科学の異なる領域間に橋をかける数理理論である。双対性理論は異なる双対性間の相同性の解明に役立つと当時に、異なる双対性がどこまで同じでどこから異なるものであるのかをも明らかにする。圏論的意味論は、科学の諸領域に存在するシステムの論理構造に対して意味論を系統的に与える技法であり、特に圏論的機械学習や圏論的量子計算においても本質的である。本研究は以上に関する基盤的研究を推進するものである。

Outline of Annual Research Achievements

数学・情報・物理を横断する圏論的双対性と圏論的論理・圏論的意味論について研究を進めた。特に、数学・情報・物理を横断する圏論的双対性の一般理論を構築し、それを近年の圏論的確率論・圏論的機械学習に関わる双対性の発見・構築・証明に応用した。また量子物理・量子計算に関わる双対性への応用をも与えた。さらに、圏論的論理・圏論的意味論の一般理論を構築した。その応用として、機械学習のためのファジィ論理の圏論的意味論を構築した。またさらに量子力学・量子論理の圏論的意味論への応用を与えた。これは量子トポス理論の構築への重要なステップであると考えられる。まず、トポス理論的な圏構造と量子力学的な圏構造は両立しないことが知られている(両方の構造を一つの圏に要求すると圏の構造が潰れるということが知られている)。従ってトポスの概念をそのままの形で量子化することはできない。そのため、トポスを函手として再定式化した概念であるトライポスの概念を用い、量子トライポスの概念を定義することで量子トポス理論を構築する。トライポスの概念は任意のモナドに対して拡張することができるという自由度がありこれを利用してトライポスを量子化する。またトライポスの基礎圏はカルテジアン閉圏ではなくモノイダルなダガーコンパクト閉圏とする。量子力学の型理論は線型だからである。アブラムスキー・クッカはこの型理論のみに基づいて量子力学・量子計算を形式化したが、量子的対称性などはそのような枠組みの中で上手く表現することができなかった。一方、古典的な量子論理であるバーコフ・フォンノイマンの量子論理は量子的対称性を上手く表現することができた。基礎圏がダガーコンパクト閉圏でありモナドが量子論理代数のモナドであるような量子トライポスは、アブラムスキー・クッカの量子型理論とバーコフ・フォンノイマンの量子論理を融合させたものであり両者の利点を併せ持つ。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

圏論的双対性と圏論的意味論について、一般理論の構築とその諸分野への応用を共に大きく進展させ、当初の予想を超える豊富な成果を得た。

Strategy for Future Research Activity

数学・情報・物理を横断する圏論的双対性と圏論的論理・圏論的意味論についてさらに研究を進めてゆく。特に、数学・情報・物理を横断する圏論的双対性の一般理論についてはいくつかのバージョンが可能であるため、それらの可能性をそれぞれ分析し比較検討することを通じて双対性の一般理論のより深い理解に到達できると考えられる。圏論的論理・圏論的意味論の一般理論についてもすでに一定の定式化の下で基礎的な成果を豊富に得ているが、他の定式化も検討することで真に最良の定式化を発見することができると考えられる。

Report

(1 results)
  • 2023 Research-status Report
  • Research Products

    (11 results)

All 2025 2024 2023

All Journal Article (5 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Peer Reviewed: 5 results) Book (6 results)

  • [Journal Article] Fibered Universal Algebra for First-Order Logics2024

    • Author(s)
      C. Bloomfield and Y. Maruyama
    • Journal Title

      Journal of Pure and Applied Algebra

      Volume: vol. 228 Pages: 107415-107415

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Modal Hyperdoctrine: Higher-Order and Non-Normal Extensions2024

    • Author(s)
      Y. Maruyama and F. Verity
    • Journal Title

      Proceedings of WoLLIC

      Volume: 2024

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Computing with Categories in Machine Learning2023

    • Author(s)
      E. Sennesh, T. Xu, and Y. Maruyama
    • Journal Title

      Springer LNCS

      Volume: 13921 Pages: 244-254

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] A Reasoning System for Time and Vagueness2023

    • Author(s)
      Y. Maruyama and F. Zhang
    • Journal Title

      Proceedings of IEEE-FUZZ

      Volume: 2023 Pages: 1-6

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Duality, Intensionality and Contextuality2023

    • Author(s)
      Y. Maruyama
    • Journal Title

      Outstanding Contributions to Logic

      Volume: 25 Pages: 41-88

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Book] 圏論的普遍論理(『現代論理学事典』所収)2025

    • Author(s)
      丸山善宏
    • Publisher
      朝倉書店
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Book] 圏論における双対性(雑誌『数理科学』双対性特集号)2024

    • Author(s)
      丸山善宏
    • Publisher
      サイエンス社
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Book] 圏論と人工知能・機械学習(雑誌『数理科学』圏論特集号)2024

    • Author(s)
      丸山善宏
    • Publisher
      サイエンス社
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Book] 量子情報理論から見た生命と認知(『量子生命科学ハンドブック』所収)2024

    • Author(s)
      丸山善宏
    • Publisher
      NTS出版
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Book] 万物の理論としての圏論2023

    • Author(s)
      丸山善宏
    • Publisher
      青土社
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Book] 万物の計算理論と情報論的世界像(雑誌『現代思想』計算論特集号)2023

    • Author(s)
      丸山善宏
    • Publisher
      青土社
    • Related Report
      2023 Research-status Report

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Published: 2023-04-13   Modified: 2024-12-25  

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