Wishart行列と正規ベクトルの積の確率分布に関する研究－zonal多項式の視点から－

• Project/Area Number: 23K16845
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 60030:Statistical science-related
• Research Institution: Hokkaido University of Education
• Principal Investigator: 米永 航志朗 北海道教育大学, 教育学部, 講師 (60972809)
• Project Period (FY): 2023-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000); Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: 線形判別関数 / zonal多項式 / 多重積分 / Wishart行列 / 正規ベクトル / 判別分析

Outline of Research at the Start

ある患者が特定の病気か否か, また, 面接者に適職性があるか否か等, なんらかの判別が必要となる分析において, その判別に有効な変数を発見することは重要である. この変数の発見において重要な役割を果たすのが判別係数の確率分布であり, ゆえに, その確率分布の計算が重要な課題である. この課題に対しては複雑な積分を計算することが一つの解決策ではあるが, 複雑な積分で表された確率分布を計算するには膨大な時間がかかる. 本研究では数値的評価そのものを避けるため, ある有用な多項式の結果をもとに, 複雑な積分を含まない確率分布の評価公式の発見に取り組む.

Outline of Annual Research Achievements

評価困難な積分によって表現される、統計量の確率密度関数にはいくつかの有効な評価方法が存在する。特に線形判別分析をベイズ統計学の観点から考察した場合、ある統計量の確率密度関数の評価が変数選択のためには不可欠である。ここで線形判別分析とは1次関数の値によって、ある人が特定の疾患かどうか、出土した古文書がどの作者のものなのか、投資先の企業が倒産するかどうか、などをいくつかの変数の情報をもとに判断する多変量統計解析の代表的な手法である。ここで、重要な問題はどのような変数をその判断を行う上で組み込むかである。このような判断を行う上で、1次関数の傾きと切片の値を評価することが必要なのだが、データを取り直すごとにこれらの傾きと切片の値は変動するため、その変動の仕方を特定する必要がある。このような変動は通常、確率密度関数によって記述されるのだが、その評価のためには評価の難しい積分の値を計算する必要がある。本研究においては、その積分計算のために1950年代ごろに導入されたある多項式(zonal多項式)を用いることが有効ではないかというアイデアに基づいている。この多項式(zonal多項式)に関する文献は非常に多く、当該年度はこの多項式に関する文献調査を綿密に行った上で、非常に特別な場合に限って、理論的に積分評価が可能であるような結果を得ることができた。また、当該年度に開催された学会において、関連する研究分野の発表を聴講し、本研究に関する実データへの応用に関する知見を得ることができた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

1. zonal多項式は非常に多くの文献が存在し、この多項式の性質に関する調査が不可欠である。今年度はその調査に充てることができた。

2. 研究論文や学会報告には十分な結果ではないが、特別な場合(2次元)には積分評価が可能である結果を得ることができた。

Strategy for Future Research Activity

1. 本年度のzonal多項式に関する文献調査をもとに、より一般的な場合(多次元)の場合の積分評価をzonal多項式を用いて評価する。

2. 関連学会において、報告し、大学・研究所紀要への投稿に向け、準備をする。