p進コホモロジーとその新展開

• Project/Area Number: 23K20202
• Project/Area Number (Other): 20H01790 (2020-2023)
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund (2024); Single-year Grants (2020-2023)
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 阿部 知行 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (70609289)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥12,740,000 (Direct Cost: ¥9,800,000、Indirect Cost: ¥2,940,000); Fiscal Year 2024: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000); Fiscal Year 2023: ¥2,730,000 (Direct Cost: ¥2,100,000、Indirect Cost: ¥630,000); Fiscal Year 2022: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000); Fiscal Year 2021: ¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000); Fiscal Year 2020: ¥2,730,000 (Direct Cost: ¥2,100,000、Indirect Cost: ¥630,000)
• Keywords: 分岐理論 / D加群 / 正標数 / エタールコホモロジー / 消滅隣体 / 特性サイクル / 数論的D加群 / 無限圏 / モチビックコホモロジー / エタール・コホモロジー / p進コホモロジー

Outline of Research at the Start

本研究はp進コホモロジー論の技術を数論幾何学に応用することを目的としている．これまでにp進コホモロジー論の基本定理であるアイソクリスタルの準安定還元定理で用いられる手法を応用してl進コホモロジーの分岐理論と呼ばれる正標数特有の現象の理解に近づくことができた．これはl進コホモロジーの超局所解析の理論を構築するという夢の一部として現れるべき現象である．超局所解析の理論はイプシロン因子の計算を可能にするべきであり，遠い将来的には高次元多様体の“ラングランズ対応”にも応用が期待できると思っており，極めて挑戦的な課題である．

Outline of Annual Research Achievements

本年度は前年度で出した研究成果を論文にする一年であった．まずは「localization system」と「reversible coefficient」という二つの情報を定義する．localization systemというのは大雑把にはFという層とその部分層F_0の組で都合の良い条件を満たすものであり，reversible coefficientというのはHという無限層であり，無限圏的な情報を持つものである．これらの抽象的な情報とさらにF_0からHへの射が与えられたとする．この時主結果は自然にFからHへの射に延長できることを主張する．この延長定理は純粋に無限圏論的な主張であり，最終的にはホモトピー論，または組み合わせ論的な議論を用いて示される．
より深い部分はlocalization systemとreversible coefficientの具体的な構成である．Xという正標数の多様体が与えられたときエタール層の理論からlocalization systemが自然に構成される．このためにこれまでにすでに論文にしたKedlayaの準安定還元定理の類似の議論など深い議論を必要としている．一方でreversible coefficientはモチビック・コホモロジーの理論から出てくるものであり，こちらもこれまでに構成した跡射の理論などを必要とし全く自明ではない．localization systemの定義はそこまで複雑ではないものの，最終的な定義に落ち着くまでに多くの失敗が必要で苦労した部分である．無限圏的な抽象論が適用できるように定義をすることは難しいことではないが，実際にそれが我々の必要とする状況下で使えるように調整するのがとても大変であった．結果として特性サイクルの押し出し公式をp-torsionを除いて示すことができた．

Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

今年度は前年までに出た研究成果を組み合わせることで，最終的にGrothendick-Ogg-Shafarevich公式の一般化である押し出し公式を標数のtorsionを除いた部分で解決することに成功した．これはここ数年の一つの研究目標であった．ここまできれいな結果が出ることは期待しておらず，計画以上に進展していると評価できる．

Strategy for Future Research Activity

大きな目標が一つ達成されたので，今後はこれまでの手法を使った応用やその深化を目標としていく．例えば，非特異な多様体に対して特性サイクルの理論が展開されたわけだが，特異点がある多様体に対しても特性サイクルの理論が期待されている．これに対しては導来代数幾何学が大きな役割を果たすと考えている．特性サイクルは多様体に対して局所的な理論である．一方で任意の多様体は局所的には非特異な導来代数多様体と思うことができる．そのため非特異な導来代数多様体に対して同じような特性サイクルの理論が展開できれば，その底になっているべき特異多様体に対する特性サイクルの理論が展開できるわけである．
また，局所イプシロン因子の理論も考えていきたいと思っている．特性サイクルは「K_0」的な研究対象であり，その上部にある「K_1」的な研究対象がイプシロン因子である．一方で局所イプシロン因子はA1安定的でないことがすぐにわかり，従来の理論で捉えるのは難しいと思われる．モジュラス付きのモチーフの理論なども近年発展してきており，それらの理論の応用も念頭に置いて研究していこうと思っている．

Research Products

• [Int'l Joint Research] University of Florida(米国)
• [Int'l Joint Research] University of Exeter(英国)
• [Journal Article] Enhanced bivariant homology theory attached to six functor formalism (2022)
  • Author(s): Abe Tomoyuki
  • Journal Title: Journal of Topology Volume: 15 Issue: 4 Pages: 1675-1754
  • DOI: 10.1112/topo.12249
• [Presentation] Characteristic cycles and pushforward formula (2022)
  • Author(s): Tomoyuki Abe
  • Organizer: Around p-adic cohomologies
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] A remark on trace formalism (2021)
  • Author(s): Tomoyuki Abe
  • Organizer: Around D-modules nowadays
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] コホモロジー理論の無限化とその応用 (2021)
  • Author(s): 阿部知行
  • Organizer: 代数学シンポジウム
  • Invited
• [Presentation] Ramification theory from homotopical point of view (2021)
  • Author(s): Tomoyuki Abe
  • Organizer: Arithmetic geometry - Takeshi 60
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Arithmetic D-modules and rigid cohomologies (2020)
  • Author(s): Tomoyuki Abe
  • Organizer: Tropical Geometry, Berkovich Spaces, Arithmetic D-Modules and p-adic Local Systems,
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Funded Workshop] p-adic cohomology and arithmetic geometry 2022 (2022)