代数的サイクルの数論幾何学的研究

• Project/Area Number: 23K20203
• Project/Area Number (Other): 20H01791 (2020-2023)
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund (2024); Single-year Grants (2020-2023)
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 齋藤 秀司 東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (50153804)
• Project Period (FY): 2024-04-01 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥17,160,000 (Direct Cost: ¥13,200,000、Indirect Cost: ¥3,960,000); Fiscal Year 2024: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2023: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2022: ¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000); Fiscal Year 2021: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2020: ¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000)
• Keywords: モチーフ理論 / モチフィックコホモロジー / 相互層

Outline of Research at the Start

モチーフ理論とは，モチーフの圏を定義し，そこからホモロジー代数的あるいはホモトピー代数的に代数多様体にたいする様々な不変量を生み出す力を持つ理論である．世界的に非常に活発な研究が為されている分野である。Voevodskyはモチーフ理論に大きな進展をもたらしその帰結としてBeilinson-Lichtenbaum予想を解決しフィールズ賞を授与されている．
しかし，Voevodskyのモチーフ理論にはホモトピー不変性という本質的制約が課せられており完全に満足できるものではない．当該研究の目的は，Voevodskyのモチーフ理論を包含するより普遍的なモチーフ理論を構築することである．

Outline of Annual Research Achievements

モチーフの理論は数論幾何学，代数幾何学における重要な研究対象である．これに大きな進展をもたらしたVoevodskyのモチーフ理論はアフィン直線にたいするホモトピー不変性が理論の前提になっている．しかし代数幾何学の様々な基本的な不変量(例えば微分形式の層のコホモロジーやde Rham-Witt層のコホモロジー)はホモトピー不変性を満たさない．当該研究では，Voevodskyのモチーフ理論を拡張し，ホモトピー不変でない不変量をも包括する新たなモチーフの理論を構築するためにVoevodskyのモチーフ理論を精密化するモジュラス付きモチーフ理論を構築した．その中心的なアイデアは，滑らかな多様体をモジュラス対に置き換えVoevodskyのモチーフ理論を再構成することである．ここでモジュラス対とは，スキームXとX上の有効カルティエ因子Dとの対(X,D)でX-Dが滑らかであるようなものである．さらにホモトピー不変性の代替として，キューブ不変性を用いる．ここでキューブとは射影直線と無限遠点の対である．本年度の研究成果は、Morel-Voevodskyの定義したモチーフのホモトピー圏をモジュラス対の枠組みにおいて一般化した新たなモチーフのホモトピー圏を定義したことである．さらに滑らかな多様体の圏上に定義された相互層に「モチーフ論的分岐フィルトレーション」を与えることにより、それをモジュラス対の圏上のキューブ不変層に拡張し、そのコホモロジーが新たに定義されたモチーフのホモトピー圏において表現可能であることを示した．これはVoevodskyが示した「ホモトピー不変層のコホモロジーが，Voevodskyのモチーフの圏において表現可能である」という事実の一般化である．これらの成果は小泉淳之介氏と宮崎弘安との共同研究である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

数論幾何学，代数幾何学における重要な研究対象であるモチーフの理論に大きな進展をもたらしたMorel-Voevodskyのモチーフのホモトピー圏をモジュラス対の枠組みにおいて一般化した新たなモチーフのホモトピー圏を定義した．さらにVoevodskyの理論で中心的な役割を果たしたホモトピー不変層を拡張する相互層にモチーフ論的分岐フィルトレーションを与えることによりモジュラス対の圏上のキューブ不変層に自然に拡張される。さらにそのコホモロジーが新たに定義されたモチーフのホモトピー圏において表現可能であることを示すことにも成功した．

Strategy for Future Research Activity

新たなモチーフ理論を分岐理論に応用することである。古典的分岐理論は，剰余体が完全な離散付置体のガロア群上に(上付き)分岐フィルトレーションを与えるもので整数論において重要な役割を果たす．剰余体が非完全な場合への一般化は，アーベルガロア群にたいしては加藤和也が与え，一般の場合はAbbes-斎藤毅により与えられた．本研究は一般の相互層Fたいしモチーフ論的分岐フィルトレーションを定義し，Fが特殊な場合にはそれが加藤の分岐フィルトレーションを大域化したものであることを示した．この結果は，分岐理論が新たなモチーフ理論により再解釈されることを示すだけでなく，ひとつ相互層を与えるごとに新たな分岐理論が生じることを意味する．例えばFが別の特殊な場合にはモチーフ論的分岐フィルトレーションは接続の不正則数を与える.今後の研究目的はBeilinsonと斎藤毅によるl-進層の特性サイクルの理論をモチーフ理論により再構成することである．

Research Products

• [Int'l Joint Research] University of Wuppertal(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] University of Milano(イタリア)
• [Int'l Joint Research] University of Wuppertal(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] University of Milano(イタリア)
• [Int'l Joint Research] University of Milano(イタリア)
• [Journal Article] Reciprocity sheaves and logarithmic motives (2023)
  • Author(s): Shuji Saito
  • Journal Title: Compositio Math. Volume: 159 Pages: 355-379
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Ramification theory of reciprocity sheaves, I; Zariski-Nagata purity (2023)
  • Author(s): Kay R"ulling and Shuji Saito
  • Journal Title: J. Reine Angew. Volume: 797 Pages: 41-78
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Derived log Albanese sheaves (2023)
  • Author(s): Federico Binda, Alberto Merici and Shuji Saito
  • Journal Title: Adv. Math. Volume: 417
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Bloch's formula for 0-cycles with modulus and higher dimensional class field theory (2023)
  • Author(s): Federico Binda, Amalendu Krishna and Shuji Saito
  • Journal Title: J. Algebraic Geom. Volume: 32
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Reciprocity sheaves and their ramification filtrations (2023)
  • Author(s): Kay R"ulling and Shuji Saito
  • Journal Title: J. Inst. Math. Jussieu Volume: 22
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Cancellation theorems for reciprocity sheaves (2023)
  • Author(s): Alberto Merici and Shuji Saito
  • Journal Title: Algebr. Geometry Volume: 10
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] K-theory of non-archimedean rings II (2023)
  • Author(s): Moritz Kerz, Shsuji Saito and Goerg Tamme
  • Journal Title: Nagoya Math. J. Volume: 251
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Cycle class maps for Chow groups of zero-cycles with modulus (2023)
  • Author(s): Kay R"ulling and Shuji Saito
  • Journal Title: J. of Pure and Applied Algebra Volume: 227
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Ramification theory of reciprocity sheaves, II Higher local symbols (2023)
  • Author(s): Kay R"ulling and Shuji Saito
  • Journal Title: Eur. J. Math. Volume: 9
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] On the cohomology of reciprocity sheaves (2022)
  • Author(s): Federico Binda, Kay R"ulling Kay, Shuji Saito
  • Journal Title: Forum Math. Sigma Volume: 10
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Motives with modulus, III: The categories of motives (2022)
  • Author(s): Bruno Kahn, Hiroyasu Miyazaki, Shuji Saito, Takao Yamazaki
  • Journal Title: Ann. K-Theory Volume: 7
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Reciprocity sheaves, II (2022)
  • Author(s): Bruno Kahn, Shuji Saito, Takao Yamazaki
  • Journal Title: Homology Homotopy Appl. Volume: 24
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Correction to the article Lefschetz theorem for abelian fundamental group with modulus (2022)
  • Author(s): Moritz Kerz, Shuji Saito
  • Journal Title: Algebra and Number Theory Volume: 16 Pages: 2001-2003
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Smooth blowup square for motives with modulus (2021)
  • Author(s): S. Kelly and S. Saito
  • Journal Title: Bulletin Polish Acad. Sci. Math. Volume: 69, no.2 Pages: 97-106
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Motives with modulus, I: Modulus sheaves with transfers for non-proper modulus pairs (2021)
  • Author(s): B. Kahn, H. Miyazaki, S. Saito and T. Yamazaki
  • Journal Title: Epijournal de Geometrie Algebrique Volume: 5, no. 1
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Motives with modulus, II: Modulus sheaves with transfers for proper modulus pairs (2021)
  • Author(s): B. Kahn, H. Miyazaki, S. Saito and T. Yamazaki
  • Journal Title: Epijournal de Geometrie Algebrique Volume: 5, , no. 2
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Desingularization: Invariants and Strategy: Application to Dimension 2 (2020)
  • Author(s): V. Cossart, U. Jannsen and S. Saito
  • Journal Title: Lecture Notes in Mathematics Volume: 2270
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] On p-adic vanishing cycles of log smooth families (2020)
  • Author(s): S. Saito and K. Sato
  • Journal Title: Tunisian J. Math. Volume: 2, no. 2
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Towards a non-archimedean analytic analog of the Bass-Quillen conjecture (2020)
  • Author(s): M. Kerz, S. Saito and G. Tamme
  • Journal Title: J. Inst. Math. Jussieu Volume: 19, no. 6
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Purity of reciprocity sheaves (2020)
  • Author(s): S. Saito
  • Journal Title: Advances in Math. Volume: 365
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Presentation] Pro-cdh descent for algebraic K-theory of derived schemes (2024)
  • Author(s): Shuji Saito
  • Organizer: Guest seminar Algebra and Topology
  • Invited
• [Presentation] A pro-cdh topology and motivic cohomology of schemes (2024)
  • Author(s): Shuji Saito
  • Organizer: Arithmetic Geometry, Algebraic Geometry and Analytic Geometry, Conference on the occasion of Prof. Fujiwara's 60-th birthday
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] A pro-cdh topology and motivic cohomology of schemes (2024)
  • Author(s): Shuji Saito
  • Organizer: 6th Kyoto-Nanjing Workshop on Algebraic and Arithmetic Geometry
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Motivic homotopy theory with ramification filtrations (2024)
  • Author(s): Shuji Saito
  • Organizer: Motives in Tokyo, 2025
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Reciprocity sheaves and ramification theory (2024)
  • Author(s): Shuji Saito
  • Organizer: Ramification theory and reciprocity sheaves: A lecture series by the French-Japanese laboratory of Mathematics and its interactions
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Recent progresses on motivic cohomology (2023)
  • Author(s): 斎藤秀司
  • Organizer: 日本数学会2023年度秋季総合分科会 総合講演
  • Invited
• [Presentation] A pro-cdh topology and motivic cohomology of schemes (2023)
  • Author(s): Shuji Saito
  • Organizer: Guest seminar Algebra and Topology
  • Invited
• [Presentation] A pro-cdh topology on formal schemes (2023)
  • Author(s): Shuji Saito
  • Organizer: Motives in Mainz, Johannes Gutenberg-University Mainz
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] From higher dimensional class field theory to a new theory of motives (2023)
  • Author(s): 斎藤秀司
  • Organizer: 東大数理大談話会
  • Invited
• [Presentation] Generalized Weibel conjecture (2023)
  • Author(s): Shuji Saito
  • Organizer: Seminario di Geometria Aritmetica
  • Invited
• [Presentation] Theory of motives and ramification theory (2020)
  • Author(s): Shuji Saito
  • Organizer: Enriques Lecture, Seminar of Geometry and Algebra, University of Milan
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Remarks]
  • URL: https://www.lcv.ne.jp/~smaki/ja/index.html
• [Remarks]
  • URL: https://www.lcv.ne.jp/~smaki/ja/index.html
• [Remarks] Shuji Saito Webpage
  • URL: https://www.lcv.ne.jp/~smaki/ja/index.html
• [Funded Workshop] Yatsugatake Workshop, 2023:Condensed Mathematics (2023)
• [Funded Workshop] Motives in Tokyo, 2023 (2023)