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Studies on noncommutative algebraic geometry

Research Project

Project/Area Number 23K20208
Project/Area Number (Other) 20H01797 (2020-2023)
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Allocation TypeMulti-year Fund (2024)
Single-year Grants (2020-2023)
Section一般
Review Section Basic Section 11010:Algebra-related
Research InstitutionOsaka University

Principal Investigator

大川 新之介  大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (60646909)

Project Period (FY) 2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2024)
Budget Amount *help
¥17,290,000 (Direct Cost: ¥13,300,000、Indirect Cost: ¥3,990,000)
Fiscal Year 2024: ¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000)
Fiscal Year 2023: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2021: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2020: ¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Keywords非可換代数幾何学 / 導来圏 / 代数曲面 / 極小モデル理論
Outline of Research at the Start

種々の数学的対象に対して(増強された)三角圏と呼ばれる加法的かつホモトピー的な圏が定まるが、これを通じて元の対象を研究するという視点・手法の重要性が認識されるようになってきた。このような研究を総称して非可換代数幾何学と呼ぶ。本研究ではこの分野の基礎付け、特に三角圏の分解について研究すると共に、ある種の代数曲面や3次元代数多様体の非可換変形について詳細な研究と分類を行った。

Outline of Annual Research Achievements

今年度は、まず、中心上有限な非特異非可換代数曲面に関してEleonore Faber(Leeds大)、Colin Ingalls(Carleton大)、Matthew Satriano(Waterloo大)諸氏と研究した。その成果をarXiv:2206.13359として発表した(to appear in TAMS)。主結果は、上記のような非可換非特異代数曲面に対して非特異なArtin stackを構成する手続きを与え、その上の連接層のなすabel圏の1つの既約成分が非可換代数曲面上の連接層のabel圏と同値になることを証明したというものである。特にそのような非可換代数曲面がOrlovの意味のgeometric noncommutative schemeであることがわかった。
また、Colin Ingalls、Susan Sierra(Edinburgh大)、Michel Van den Bergh(Hasselt大)諸氏と非可換3次曲面について研究し、一般のR(1,3)型非可換3次元射影空間の3次曲面を非可換射影平面の6点爆発として記述することに成功した(論文準備中)。具体的には、非可換6点爆発にそのambient spaceとして得られる非可換3次元射影空間を対応させる対応をモジュライ空間の間の有理射として定義し、それが極めて初等的な2つの有理射の合成であることを証明した。前者は6次元のアーベル多様体になるが、その上にE6型のWeyl群が自然に作用しており、その商が重み付き射影空間P(1,1,1,2,2,2,3)となる。一方、後者のモジュライ空間は重み付き射影空間P(1,1,1,2,2,2)である。主結果は、重み付き射影空間の最後の座標を忘れる有理射と商射の合成が、上述の有理射に一致するというものである。主結果のフォーミュレーションを見出すまでが困難であったが、一度それがわかってからは、直線加群のHilbert schemeを利用する議論が比較的すぐに思いついたので解決することができた。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

非可換代数曲面に関する上記の研究を論文として無事完成させることができた。また、長年取り組んでいた非可換3次曲面を非可換射影平面のblowupとして記述する研究にブレークスルーがあったことがとても大きく、他の次数の非可換del Pezzo曲面の射影幾何に関しても見通しが立った。特に、主定理のフォーミュレーションを見出すことに成功したのが大きかった。一方、論文発表までは至れなかったので、進捗状況の判断を上記のように判断した。

Strategy for Future Research Activity

非可換3次曲面に関する研究成果を論文にまとめるのが最優先課題であるので、これに取り組む。半古典極限に関するものと非可換曲面に関するものの2本を準備中である。これに加えて、非可換del Pezzo曲面をAS正則代数として記述する研究も着実に進め、出来たところまでを細かく論文として発表していきたい。

Report

(3 results)
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • 2020 Annual Research Report
  • Research Products

    (21 results)

All 2023 2022 2021 2020 Other

All Int'l Joint Research (7 results) Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 3 results) Presentation (9 results) (of which Int'l Joint Research: 8 results,  Invited: 9 results) Remarks (2 results)

  • [Int'l Joint Research] Hasselt University/VUB(ベルギー)

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Int'l Joint Research] Carleton University/Waterloo(カナダ)

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Int'l Joint Research] The University of Edinburgh/University of Leeds(英国)

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Int'l Joint Research] Hasselt University(ベルギー)

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      2021 Annual Research Report
  • [Int'l Joint Research] Carleton University/University of Waterloo(カナダ)

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      2021 Annual Research Report
  • [Int'l Joint Research] Edinburgh University/Leeds(英国)

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
  • [Int'l Joint Research] VUB(ベルギー)

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Journal Article] The minimal model program for b-log canonical divisors and applications2023

    • Author(s)
      Chan Daniel、Chan Kenneth、de Thanhoffer de Voelcsey Louis、Ingalls Colin、Jabbusch Kelly、Kovocs Sandor J.、Kulkarni Rajesh、Lerner Boris、Nanayakkara Basil、Okawa Shinnosuke、Van den Bergh Michel
    • Journal Title

      Mathematische Zeitschrift

      Volume: 303 Issue: 4

    • DOI

      10.1007/s00209-023-03205-w

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Derived equivalence and Grothendieck ring of varieties: the case of K3 surfaces of degree 12 and abelian varieties2020

    • Author(s)
      Ito Atsushi、Miura Makoto、Okawa Shinnosuke、Ueda Kazushi
    • Journal Title

      Selecta Mathematica

      Volume: 26 Issue: 3 Pages: 1-27

    • DOI

      10.1007/s00029-020-00561-x

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On ruled surfaces with big anti-canonical divisor and numerically trivial divisors on weak log Fano surfaces2020

    • Author(s)
      Ohta Rikito、Okawa Shinnosuke
    • Journal Title

      manuscripta mathematica

      Volume: 166 Issue: 1-2 Pages: 1-17

    • DOI

      10.1007/s00229-020-01242-x

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Blowing down noncommutative cubic surfaces2023

    • Author(s)
      Shinnosuke Okawa
    • Organizer
      CURRENT TRENDS IN THE CATEGORICAL APPROACH TO ALGEBRAIC AND SYMPLECTIC GEOMETRY
    • Related Report
      2022 Annual Research Report 2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Semiorthogonal indecomposability of irregular surfaces2023

    • Author(s)
      Shinnosuke Okawa
    • Organizer
      The 1st Algebraic geometry Atami symposium
    • Related Report
      2022 Annual Research Report 2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Blowing down noncommutative cubic surfaces2023

    • Author(s)
      Shinnosuke Okawa
    • Organizer
      NCTS Higher Dimensional Algebraic Geometry Mini-courses and Workshop
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Blowing down noncommutative cubic surfaces2023

    • Author(s)
      Shinnosuke Okawa
    • Organizer
      2023 NCTS Higher Dimensional Algebraic Geometry Mini-courses and Workshop
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] The reconstruction theorem for AS-regular 3-dimensional cubic Z-algebras2022

    • Author(s)
      Shinnosuke Okawa
    • Organizer
      Interactions between Algebraic Geometry and Noncommutative Algebra (Oberwolfach Workshop 2218)
    • Related Report
      2022 Annual Research Report 2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] On semiorthogonal indecomposability of irregular surfaces2021

    • Author(s)
      Shinnosuke Okawa
    • Organizer
      Conference in honour of Alexey Bondal's 60th birthday
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 導来圏の半直交分解と幾何学2020

    • Author(s)
      大川新之介
    • Organizer
      第67回幾何学シンポジウム
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Exceptional collections on the Hirzebruch surface of degree 22020

    • Author(s)
      Shinnosuke Okawa
    • Organizer
      Japanese-European Symposium on Symplectic Varieties and Moduli Spaces
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Moduli space of semiorthogonal decompositions2020

    • Author(s)
      Shinnosuke Okawa
    • Organizer
      International Conference "Categories and Birational Geometry"
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Remarks] On stacky surfaces and noncommutative surfaces

    • URL

      https://arxiv.org/abs/2206.13359

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
  • [Remarks] arXiv:2304.14048

    • URL

      https://arxiv.org/abs/2304.14048

    • Related Report
      2021 Annual Research Report

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Published: 2020-04-28   Modified: 2024-12-25  

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