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Variational problems and geometric analysis for hypersurfaces with singular points, and novel development of discrete surface theory

Research Project

Project/Area Number 23K20212
Project/Area Number (Other) 20H01801 (2020-2023)
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Allocation TypeMulti-year Fund (2024)
Single-year Grants (2020-2023)
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionKyushu University

Principal Investigator

小磯 深幸  九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 名誉教授 (10178189)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 寺本 圭佑  山口大学, 大学院創成科学研究科, 講師 (10830002)
石渡 哲哉  芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50334917)
可香谷 隆  室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 准教授 (60814431)
松江 要  九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70610046)
安本 真士  徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 講師 (70770543)
本田 淳史  横浜国立大学, 大学院工学研究院, 准教授 (90708611)
Project Period (FY) 2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2024)
Budget Amount *help
¥17,420,000 (Direct Cost: ¥13,400,000、Indirect Cost: ¥4,020,000)
Fiscal Year 2024: ¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2020: ¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Keywords変分問題 / 測地円 / 区分的に滑らかな曲面 / ピローボックス / 非等方的エネルギー / 可展面 / ガウス-ボンネの定理 / 曲面の特異点 / 曲面の内在的曲率 / エネルギー勾配流方程式 / 離散曲面 / ガウス曲率 / 等長変形 / ピロー型ボックス / 自由境界問題 / 幾何解析 / 離散幾何 / ウルフ図形 / 平均曲率 / エネルギー極小解 / ローレンツ・ミンコフスキー空間 / 区分的に滑らかな超曲面
Outline of Research at the Start

滑らかな超曲面、区分的に滑らかな超曲面、多面体の全てを含む超曲面の新しいクラスを定義し、このクラスに属する超曲面に対して法線、法変分、曲率などの幾何的概念の一般化を定義して、非等方的エネルギー(結晶のエネルギーの数理モデル)の変分問題をモデルとして変分法を構築すると共にエネルギー勾配流方程式を解析する方法を構築する。また、それを離散曲面の幾何学に応用する。さらに、物理学や建築工学の研究者との協働により、物理現象解明やより良い物作りのための具体的な変分問題に対し、本研究で得た理論を応用する。

Outline of Annual Research Achievements

本研究の主たる研究対象はユークリッド空間内の区分的に滑らかな曲面(piecewise smooth surface. 以下、PWS曲面と呼ぶ)及びその一般次元版である。PWS曲面とは、いくつかの滑らかな曲面を連続的に繋いだものであり、各点の近傍として円板がとれるようなものである。本研究では、PWS曲面について、特に、頂点や辺上の点のような特異点での曲がり具合などの幾何概念の整備及び変分法構築を主課題としている。
2021-22年度に、PWS曲面についての変分問題の例として、ピローボックスと呼ばれる閉可展面について、「縦と横の長さを任意に指定された二重長方形に対し、それと等長なピローボックス」の体積最大解の存在と一意性、解の楕円積分を用いた表示式、平面からピローボックスに至る自然な連続等長変形(伸び縮みせずに連続的に変形すること)を具体的に構成した。しかし、この結果だけでは、「縦と横の区別無しに任意に与えた二重長方形に対し、それと等長なピローボックス」の体積極大解はちょうど2つ(縦横の長さが等しいときは1つ)だが、2つのうちのどちらが体積最大かは不明である。2023年度には、数値計算を援用することによりどちらが体積最大解であるかを予測した。
また、2022年度に,PWS曲面上の各点を中心とする測地円の長さの半径についての級数展開公式を求めた。2023年度には、これを精密化一般化して国内外の国際研究集会で口頭発表し反響を呼んだ。また、得られた公式を用いてPWS曲面の内在的な特異点及び特異点における曲率を定義した。さらに、これらの概念を用いることにより、曲面についての微分幾何的量と位相幾何的量を繋ぐ公式として重要なガウス-ボンネの定理を簡明な形で表現することに成功した。なお、この級数展開は、滑らかな曲面に対してはBertrand-Puiseuxの定理(1848年)として知られている。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

「研究実績の概要」欄に記載した成果の他に、特異点をもつ解が自然に現れる変分問題の自由境界問題の例の研究及び論文執筆、曲面の非等方的エネルギーの変分問題に対する離散化及びエネルギー勾配流による解の構成、ピローボックスの体積最大解の実問題への応用及び体積最大解の生成プログラムの構築などの研究を、一部建築工学の研究者と協働しながら進めている。

Strategy for Future Research Activity

1.古典的なBertrand-Puiseux の定理の一般化:(1)2023年度までに行なった議論を曲面の特異点のまわりで精密化し、区分的に滑らかな曲面の全ての点において半径の3次までの展開公式を得る。(2)(1)で得た式を各点のまわりで積分することにより、測地円の面積の半径のべき級数による展開公式を得る。2.与えられた任意の二重長方形に縦と横を指定したとき、それに等長なピローボックスの中で体積が最大なものの一意存在と表示式を2023年度までに得た。2024年度は、縦横の長さが異なる二重長方形に対し、縦長な場合と横長な場合それぞれのピローボックスの最大体積を比較し、大小を決定する。結果の予想は2023年度に得た。証明方法は、まず、式変形により体積の大小決定を試み、うまくいかない場合は、精度保証付き数値計算を援用する。3.「体積保存変分」に対する非等方的エネルギー極小閉曲面の一意性:(1)まず、平面内の閉曲線の場合について、対応する性質を証明する。(2)(1)の次元を一般化する。うまくいかない場合は、まず、埋め込み性や種数についての仮定をおいて、証明を試みる。それでもうまくいかない場合は、非等方的エネルギーに「弱い凸性」の仮定をおく。4.区分的に滑らかな曲面に対する変分法の定式化:古典的な変分法を区分的に滑らかな曲面に対して一般化する。その際、2023年度までに定義した曲率や法ベクトル等の概念を用い、また、上の2及び3の変分問題を例とする。5.「現在までの進捗状況」欄の「理由」として記載した内容を進める。

Report

(4 results)
  • 2023 Annual Research Report
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • 2020 Annual Research Report
  • Research Products

    (36 results)

All 2024 2023 2022 2021 2020 Other

All Journal Article (8 results) (of which Peer Reviewed: 8 results,  Open Access: 8 results) Presentation (26 results) (of which Int'l Joint Research: 13 results,  Invited: 16 results) Remarks (2 results)

  • [Journal Article] Stability of hypersurfaces with constant mean curvature trapped between two parallel hyperplanes2023

    • Author(s)
      Koiso Miyuki、Miyamoto Umpei
    • Journal Title

      Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics

      Volume: 41 Issue: 1 Pages: 233-268

    • DOI

      10.1007/s13160-023-00601-x

    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Stability of hypersurfaces of constant mean curvature with free boundary in two parallel hyperplanes2023

    • Author(s)
      Koiso Miyuki、Miyamoto Umpei
    • Journal Title

      JSIAM Letters

      Volume: 15 Issue: 0 Pages: 9-12

    • DOI

      10.14495/jsiaml.15.9

    • ISSN
      1883-0609, 1883-0617
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Geometry of anisotropic double crystals2023

    • Author(s)
      Eriko Shinkawa and Miyuki Koiso
    • Journal Title

      JSIAM Letters

      Volume: 15 Issue: 0 Pages: 13-16

    • DOI

      10.14495/jsiaml.15.13

    • ISSN
      1883-0609, 1883-0617
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Stability of surfaces with constant mean curvature bounded by two coaxial circles2023

    • Author(s)
      Miyuki Koiso and Kento Okuda
    • Journal Title

      JSIAM Letters

      Volume: 15 Issue: 0 Pages: 25-28

    • DOI

      10.14495/jsiaml.15.25

    • ISSN
      1883-0609, 1883-0617
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Stable anisotropic capillary hypersurfaces in a wedge2022

    • Author(s)
      Koiso Miyuki
    • Journal Title

      Mathematics in Engineering

      Volume: 5 Issue: 2 Pages: 1-22

    • DOI

      10.3934/mine.2023029

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Uniqueness problem for closed non-smooth hypersurfaces with constant anisotropic mean curvature and self-similar solutions of anisotropic mean curvature flow2021

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Journal Title

      Springer Proceedings in Mathematics & Statistics

      Volume: 349 Pages: 169-185

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Heinz-type mean curvature estimates in Lorentz-Minkowski space2020

    • Author(s)
      Honda Atsufumi、Kawakami Yu、Koiso Miyuki、Tori Syunsuke
    • Journal Title

      Revista Matematica Complutense

      Volume: - Issue: 3 Pages: 641-651

    • DOI

      10.1007/s13163-020-00373-9

    • Related Report
      2021 Annual Research Report 2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Stability of helicoidal surfaces with constant mean curvature2020

    • Author(s)
      Yuta Hatakeyama、Miyuki Koiso
    • Journal Title

      International Journal of Mathematics for Industry

      Volume: 12 Issue: 01 Pages: 2050007-2050007

    • DOI

      10.1142/s2661335220500070

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Presentation] On a rigidity of piecewise-smooth closed developable surfaces in the three-dimensional Euclidean space2024

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      The 4th International Conference on Surfaces, Analysis, and Numerics in Differential Geometry
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 折り目を持つ可展面についての変分問題2024

    • Author(s)
      小磯深幸
    • Organizer
      研究会「直観幾何学2024」
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] 曲面の変分問題 --- 基礎,応用,展望 ---2024

    • Author(s)
      小磯深幸
    • Organizer
      Spring School on Differential and Discrete Differential Geometry
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      2023 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Developable surfaces with curved folds2023

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      International Conference on Differential Geometry and Its Applications
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Developable surfaces with curved folds2023

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      ICIAM2023Tokyo (10th International Congress on Industrial and Applied Mathematics)
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Intrinsic singular points and curvature of piecewise-smooth surfaces2023

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      Workshop on Algebraic and Analytic Singularities
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Developable surfaces with curved folds2023

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      Workshop on Mathematics for Industry
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 折り目を持つ可展面から平面領域への連続等長変形2023

    • Author(s)
      小磯深幸
    • Organizer
      日本応用数理学会第19回研究部会連合発表会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] Bertrand-Puiseux の定理の特異点を持つ曲面への一般化2023

    • Author(s)
      小磯深幸、奥田健斗
    • Organizer
      日本応用数理学会第19回研究部会連合発表会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] 折り目を持つ可展面の幾何と応用2023

    • Author(s)
      小磯深幸
    • Organizer
      ワークショップ「データサイエンスと幾何学の物性への応用」
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Geometry of surfaces with constant anisotropic mean curvature2022

    • Author(s)
      小磯深幸
    • Organizer
      研究集会「リーマン面に関連する位相幾何学」
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] ピロー型ボックスの体積最大解の存在と一意性2022

    • Author(s)
      小磯深幸,奥田健斗
    • Organizer
      日本応用数理学会2022年度年会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] Differential geometry of surfaces with singular points2022

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      The 15th MSJ-SI "Deepening and Evolution of Applied Singularity Theory"
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] A variational problem for developable surfaces with curved fold2022

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      The 13th MSJ-SI "Differential Geometry and Integrable Systems"
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Developable surfaces with curved folds and their continuous isometric deformations to planar regions2022

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      The 3rd Conference on Surfaces, Analysis, and Numerics
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 区分的に滑らかな可展面のガウス曲率2022

    • Author(s)
      小磯深幸,奥田健斗
    • Organizer
      日本応用数理学会 第18回研究部会連合発表会
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      2021 Annual Research Report
  • [Presentation] Variational problems for surfaces2022

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      Workshop on Differential Geometry and Geometric Analysis
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      2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Uniqueness problems for closed non-smooth hypersurfaces with constant anisotropic mean curvature2021

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      RIMS Workshop "Mathematical methods for the studies of flow, shape, and dynamics"
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      2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 区分的に連続な曲線と曲面の幾何2021

    • Author(s)
      小磯深幸,奥田健斗
    • Organizer
      日本応用数理学会2021年度年会
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
  • [Presentation] Stable anisotropic capillary hypersurfaces in a wedge and application to partially-crystalline variational problems2021

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      15th International Conference on Free Boundary Problems
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      2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Geometry of crystalline variationnal problem2021

    • Author(s)
      Miyuki Koiso
    • Organizer
      The 21st International Conference on Discrete Geometric Analysis for Materials Design
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] On the bifurcation and stability for surfaces with constant mean curvature bounded by two coaxial circles2021

    • Author(s)
      奥田健斗,小磯深幸
    • Organizer
      日本応用数理学会第17回研究部会連合発表会
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Presentation] Uniqueness of local minimizers for crystalline variational problems2021

    • Author(s)
      Kento Okuda and Miyuki Koiso
    • Organizer
      The 27th Osaka City University International Academic Symposium
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] クリスタライン変分問題に対するエネルギー極小解の一意性について2020

    • Author(s)
      小磯深幸,奥田健斗
    • Organizer
      日本応用数理学会2020年度年会
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Presentation] 区分的に滑らかな非等方的平均曲率一定超曲面の不安定性について2020

    • Author(s)
      軸丸芳揮,小磯深幸
    • Organizer
      日本応用数理学会2020年度年会
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Presentation] Lorentz-Minkowski空間におけるHeinz型の平均曲率の評価について2020

    • Author(s)
      川上裕,本田淳史,小磯深幸,通峻祐
    • Organizer
      日本数学会2020年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Remarks] 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所 所員紹介詳細 小磯深幸/教授

    • URL

      https://www.imi.kyushu-u.ac.jp/academic_staffs/view/86

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Remarks] Institute of Mathematics for Industry, Kyushu U.

    • URL

      https://www.imi.kyushu-u.ac.jp/eng/academic_staffs/view/85

    • Related Report
      2020 Annual Research Report

URL: 

Published: 2020-04-28   Modified: 2024-12-25  

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