Study on geometric structure of three manifolds from the viewpoint of quantum invariants

• Project/Area Number: 23K20214
• Project/Area Number (Other): 20H01803 (2020-2023)
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund (2024); Single-year Grants (2020-2023)
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 村上 順 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥9,620,000 (Direct Cost: ¥7,400,000、Indirect Cost: ¥2,220,000); Fiscal Year 2024: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000); Fiscal Year 2023: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000); Fiscal Year 2022: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000); Fiscal Year 2021: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000); Fiscal Year 2020: ¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
• Keywords: ３次元多様体 / 結び目理論 / 量子不変量 / 双曲幾何 / 量子群 / 低次元位相幾何学 / 双曲幾何学 / 指標多様体 / 結び目群 / 結び目 / 双曲多様体 / ヘニングス不変量

Outline of Research at the Start

結び目補空間などの３次元多様体の幾何構造を、ジョーンズ多項式などの量子不変量を用いて調べる。量子不変量と幾何構造とが関係することは、体積予想の研究により明らかになってきているが、体積予想そのものについてはまだそれほど多くの結び目に対しては証明されていないので、本研究では、二橋結び目に対する体積証明の証明を目指すとともに、量子不変量そのものについても、表現論的な立場からの研究を進める。

Outline of Annual Research Achievements

３次元多様体の基本群の量子化について，葉廣によりボトムタングルから構成する手法が提唱されている．本研究では，この手法を結び目補空間の基本群に適用し，基本群の量子化に対応する加群を結び目の図から具体的に構成する方法を提示した．基本群は，空間内の閉路を用いて構成されるが，この閉路は単位区間から空間への写像で定義され，連続的な変形で移り合う閉路は同値な閉路とすることで基本群の元が定義されている．この閉路の概念に対し，単位区間から空間への写像に対して，その像を考え，像同士が連続変形で移り合うもののみを同値な閉路とすることで，量子化された閉路の集合が考えられる。このような閉路のなす加群が基本群の量子化と考えられる。
基本群に対しては，さらにスケイン関係式と呼ばれる関係を像の交点のところに与えることで，基本群の SL(2) 表現が量子化できることが知られているが，本研究では，このスケイン関係式とボトムタングルの理論とを組み合わせて，結び目補空間のスケイン加群のボトムタングルを用いた表示法を与えた．また，これが結び目補空間の基本群の SL(2) 表現の量子化にあたるものであることも示した．具体的には，結び目の組み紐による表示や，さらに一般的なプラットと呼ばれる表示から，補空間のスケイン加群の具体的な表示法を与えた．穴あき円板のスケイン加群はよく知られたものであるが，結び目補空間のスケイン加群を穴あき円板のスケイン加群の商空間として実現できること，また，この商空間を構成するための部分空間の具体的な記述を得た．
また，この応用として，２橋結び目の場合に，A 多項式と呼ばれるものと，その量子化にあたる Aq 多項式とを求める手法を与えた．これは，AJ 予想に対する新しいアプローチ方法となっている．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

パンデミックのため，対面による研究交流，特に国外の研究者との研究交流が制約を受けたため，研究がやや遅れている．

Strategy for Future Research Activity

今後は，量子不変量と双曲体積との関係に関する体積予想の研究を進め，結び目補空間の基本群の量子化だけでなく，補空間の幾何構造の量子化についても研究を進める．

Research Products

• [Int'l Joint Research] テキサス大学ダラス校(米国)
• [Int'l Joint Research] フローニンゲン大学(オランダ)
• [Int'l Joint Research] ニューヨーク大学アブダビ校(アラブ首長国連邦)
• [Int'l Joint Research] テキサス大学ダラス校(米国)
• [Int'l Joint Research] ニューヨーク大学アブダビ校(アラブ首長国連邦)
• [Int'l Joint Research] モンペリエ大学(フランス)
• [Int'l Joint Research] チューリッヒ大学(スイス)
• [Int'l Joint Research] フローニンゲン大学(オランダ)
• [Int'l Joint Research] チューリッヒ大学(スイス)
• [Int'l Joint Research] パリ大学(フランス)
• [Int'l Joint Research] フローニンゲン大学(オランダ)
• [Int'l Joint Research] ニューヨーク大学アブダビ校(アラブ首長国連邦)
• [Journal Article] Quantized representations of knot groups (2023)
  • Author(s): Murakami Jun、van der Veen Roland
  • Journal Title: Quantum Topology Volume: 14 Issue: 4 Pages: 659-692
  • DOI: 10.4171/qt/191
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Asymptotics of quantum 6 j symbols (2023)
  • Author(s): Qingtao Chen, Jun Murakami
  • Journal Title: Journal of Differential Geometry Volume: 123 Issue: 1 Pages: 1-20
  • DOI: 10.4310/jdg/1679503803
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Diagrammatic construction of representations of small quantum sl2 (2022)
  • Author(s): C. BLANCHET, M. DE RENZI and J. MURAKAMI
  • Journal Title: Transform. Groups Volume: 27 Issue: 3 Pages: 751-795
  • DOI: 10.1007/s00031-021-09670-z
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Non-semisimple 3-manifold invariants derived from the Kauffman bracket (2022)
  • Author(s): Marco De Renzi, Jun Murakami
  • Journal Title: Quantum Topology Volume: 13 Issue: 2 Pages: 255-333
  • DOI: 10.4171/qt/164
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Presentation] ボトムタングルから Aq 多項式へ (2023)
  • Author(s): 村上 順
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会
• [Presentation] ホップ代数によるスケイン加群の一般化 (2023)
  • Author(s): 村上 順
  • Organizer: 拡大 KOOK セミナー 2023
• [Presentation] 結び目群の量子化について (2022)
  • Author(s): 村上 順
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会
• [Presentation] On quantum representation of knots via braided Hopf algebra (2020)
  • Author(s): Jun Murakami
  • Organizer: Knot Online Seminar
• [Presentation] On quantum representation of knots via braided Hopf algebra (2020)
  • Author(s): Jun Murakami
  • Organizer: Intelligence of Low-dimensional Topology
• [Remarks] Web Page of Jun Murakami
  • URL: https://murakami.w.waseda.jp/jun-home-j.html
• [Remarks] Web Page of Jun MURAKAMI
  • URL: http://www.f.waseda.jp/murakami/jun-home-j.html
• [Remarks] 村上 順 研究室
  • URL: http://www.f.waseda.jp/murakami/jun-home-j.html