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Construction of new phase-parameter space correspondence for complex dynamics in dimension two

Research Project

Project/Area Number 23K20218
Project/Area Number (Other) 20H01809 (2020-2023)
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Allocation TypeMulti-year Fund (2024)
Single-year Grants (2020-2023)
Section一般
Review Section Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research InstitutionKyushu University

Principal Investigator

石井 豊  九州大学, 数理学研究院, 教授 (20304727)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 小木曽 啓示  東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40224133)
上原 崇人  岡山大学, 環境生命自然科学学域, 准教授 (40613261)
宍倉 光広  京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606)
荒井 迅  東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (80362432)
Project Period (FY) 2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2024)
Budget Amount *help
¥16,120,000 (Direct Cost: ¥12,400,000、Indirect Cost: ¥3,720,000)
Fiscal Year 2024: ¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2021: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Fiscal Year 2020: ¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000)
Keywords複素力学系 / 複素へノン写像 / ジュリア集合 / モノドロミー / パラメータ空間 / Lipaの予想 / 双有理力学系 / マンデルブロー集合 / 繰り込み理論 / Yoccozパズル
Outline of Research at the Start

石井が主に記号力学系的側面と複素力学系的側面を担当し、荒井が主に計算機を 用いた数値実験で具体的なモノドロミー作用による記号空間の自己同型群の計算を担当する。以上 の計画遂行のため、石井と荒井は数回相互訪問して議論を行ない、各年に1回程度の海外出張 で最新の情報を収集する。また、複素局面上の力学系の力学系的じすうの分布について上原が先行的な数値実験を開始した。この点の理解を深めるために、数回相互訪問して議論を行なうための国内旅費が必要となる。

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目標は、複素 Henon 写像など複素2次元力学系の重要なクラスに対し、そのパラメータ空間を位相的・組み合わせ論的に記述することで、大域的な分岐 現象や対応する Julia 集合の性質を理解する点にある。そのための手法として、力学系の相空間とパラメータ空間との間に今まで知られて来なかった新しい対応 関係を構築することが鍵となる。
昨年度は、それまでに引き続いて Bedford-Smillie, Dujardin らの定理に基づき、連結でないジュリア集合をもつ複素へノン写像を数値的に(しかも厳密に)判定するアルゴリズムの開発とその高速化を行った。この結果は中部大学の荒井迅氏との共同研究であり、その証明には計算機による精度保証計算を本質 的に用いる。
また九州大学数理学研究院のポスドクである Thomas Richards 氏と共同で、複素1次元の2次多項式族に対して pseudo-monodromy の概念を定式化して、それが conspicuous な双曲成分のニーディング列で完全に特徴付けられることを証明した。この結果は、複素2次元のへノン写像族における Lipa の予想が1次元に退化した場合の解決を与えている。
さらに九州大学マスフォアイノベーション連係学府博士課程1年生の弘中祐希氏と共同で得られた、ホースシュー領域近くの実へノン写像の位相同値類をある記号力学系の特別な記号列の個数で特徴付けるという論文は、レフェリーによる査読を経て Ergodic Theory and Dynamical Systems に掲載されることが決まった。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

上述のように、複素2次元のへノン写像族における Lipa の予想が1次元に退化した場合を解決したから。

Strategy for Future Research Activity

連結でないジュリア集合をもつ複素へノン写像を数値的に(しかも厳密に)判定するアルゴリズムの開発については、以前としてさらなる高速化が必要である。そこで今後はさらに新しい数学的アイデアと組み合わせることによっ て、パラメータ空間を大域的にサーチ出来るようにアルゴリズムを改良したい。
また複素1次元の2次多項式族に対する Lipa の予想の解決については、この結果を herd という概念と結びつけることによって、本来の複素2次元における Lipa の予想の解決に繋げていきたい。

Report

(3 results)
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • 2020 Annual Research Report
  • Research Products

    (16 results)

All 2024 2023 2022 2021 2018 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (7 results) (of which Peer Reviewed: 6 results,  Open Access: 1 results) Presentation (8 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Invited: 8 results)

  • [Int'l Joint Research] University of Warwick(英国)

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Journal Article] Symbolic dynamics for Henon maps near the boundary of the horseshoe locus.2024

    • Author(s)
      Yuki Hironaka and Yutaka Ishii
    • Journal Title

      Ergodic Theory and Dynamical Systems

      Volume: -

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] The high type quadratic Siegel disks are Jordan domains2024

    • Author(s)
      Mitsuhiro Shishikura and Fei Yang
    • Journal Title

      Journal of the European Mathematical Society

      Volume: -

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Siegel Disks on Rational Surfaces2023

    • Author(s)
      Takato Uehara
    • Journal Title

      Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl.

      Volume: 34

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Smooth complex projective rational surfaces with infinitely many real forms2023

    • Author(s)
      T.-C. Dinh, K. Oguiso, X. Yu
    • Journal Title

      J. Reine Angew. Math.

      Volume: 794 Pages: 267-280

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] 複素力学系の問題2022

    • Author(s)
      石井豊
    • Journal Title

      数理解析研究所講究録「複素幾何学の諸問題II」

      Volume: 2211 Pages: 23-44

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Open Access
  • [Journal Article] On the Hausdorff dimension of the recurrent sets induced from endomorphisms of free groups2022

    • Author(s)
      Yutaka Ishii, Tatsuya Oka
    • Journal Title

      Journal of Fractal Geometry

      Volume: 9 Issue: 1 Pages: 171-192

    • DOI

      10.4171/jfg/120

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] M_4 is regular-closed2018

    • Author(s)
      Yutaro Himeki and Yutaka Ishii
    • Journal Title

      Ergodic Theory and Dynamical Systems

      Volume: 印刷中 Issue: 1 Pages: 213-220

    • DOI

      10.1017/etds.2018.27

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Is M disconnected?2023

    • Author(s)
      Yutaka Ishii
    • Organizer
      Around the Mandelbrot set: A conference celebrating the 60th birthday of Mitsuhiro Shishikura
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Pseudo-monodromy and the Mandelbrot set2023

    • Author(s)
      Yutaka Ishii
    • Organizer
      Symposium on foliation theory
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Rescaling limit of quadratic rational maps and trees of spheres2023

    • Author(s)
      Mitsuhiro Shishikura
    • Organizer
      Atelier franco-japonais de dynamiques reelles et complexes
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] On dynamical degrees of birational mappings2023

    • Author(s)
      Takato Uehara
    • Organizer
      Atelier franco-japonais de dynamiques reelles et complexes
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Automorphisms of positive entropy in a projective family of K3 surfaces2023

    • Author(s)
      Keiji Oguiso
    • Organizer
      Birational Geometry and Algebraic Dynamics in honor of the 60th birthday of Professor Keiji Oguiso
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Complex dynamics, rigorous numerics and 4D visualization.2022

    • Author(s)
      Yutaka Ishii
    • Organizer
      Topology and Computer
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] On the Hausdorff dimension of the recurrent sets induced from endomorphisms of free groups.2022

    • Author(s)
      Yutaka Ishii and Tatsuya Oka
    • Organizer
      Mathematics of tilings and quasi-periodic systems
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] 4D visualization project2021

    • Author(s)
      Yutaka Ishii
    • Organizer
      Interactive recognition of higher-dimensional spaces with virtual reality
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2020-04-28   Modified: 2024-12-25  

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