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Asymptotic and global analysis of completely integrable systems with irregular singularities and various aspects of the moduli space

Research Project

Project/Area Number 23K20219
Project/Area Number (Other) 20H01810 (2020-2023)
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Allocation TypeMulti-year Fund (2024)
Single-year Grants (2020-2023)
Section一般
Review Section Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research InstitutionJosai University (2022-2024)
Kumamoto University (2020-2021)

Principal Investigator

原岡 喜重  城西大学, 数理・データサイエンスセンター, 所長 (30208665)

Project Period (FY) 2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2024)
Budget Amount *help
¥13,000,000 (Direct Cost: ¥10,000,000、Indirect Cost: ¥3,000,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,470,000 (Direct Cost: ¥1,900,000、Indirect Cost: ¥570,000)
Fiscal Year 2020: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Keywords解析学 / 関数方程式論 / 幾何学 / 代数学 / KZ型方程式 / middle convolution / Lappo-Danilevsky理論 / シフト作用素 / ユニタリ / モノドロミー / 完全積分可能系 / 可積分接続 / 大域解析 / 微分方程式 / 不確定特異点 / Stokes現象 / 平坦接続
Outline of Research at the Start

完全積分可能系は,解空間の次元が有限となる偏微分方程式系で,常微分方程式との類似性と多変数特有の現象を併せ持つ興味深い存在である。数学・物理学の諸分野において登場し,それぞれの立場から研究されているが,本研究はいろいろな立場を総合し,常微分方程式論において近年発展したKatz理論の高次元化と組み合わせることで,そのmoduli空間の構造を解明することを目指している。Katz理論における中心的概念であるmiddle convolutionの高次元化,多変数固有の操作である制限と延長など,moduli空間における操作を構築し,不確定特異性の解析も含めて構造の解明を進めている。

Outline of Annual Research Achievements

多変数完全積分可能系のmoduli空間には様々な操作が定義される。特にKZ型方程式に限ると,いくつかの操作の間の関係が明確に記述される。そこでKZ型完全積分可能系のmoduli空間を相空間とし,変数変換,middle convolution,制限・延長,合流・unfoldingなどの操作を写像とする力学系を考えるという着想を得て,この視点からmoduli空間の研究を進めた。KZ型方程式については,可換な留数行列の組に対する同時固有空間分解がスペクトル型に相当するので,様々な写像(操作)による同時固有空間分解の変化を記述すること,rigidityの変化を記述することなど,いくつかの基本的問題が明確化された。特にいくつかの写像(操作)を組み合わせることで,アクセサリー・パラメーターを持つような完全積分可能系をいくらでも作ることができる,という新しい発見があった。
Fuchs型常微分方程式のシフト作用素についての研究も進めた。計算機実験で具体例を調べ,任意の整数シフトに対するシフト作用素が存在するか,という問題を設定するに至った。これはRiemannの問題の精密化ととらえられる。Lappo-Danilevskyの理論を研究し,そこに現れる指数行列の概念が有用であり,シフト作用素の存在問題に適用できることに気づいた。問題解決にはまだ至っていないが,解決への有望な道筋が発見できたものと考える。
国際研究集会への参加・成果発表を行い,国内外の研究者との研究交流を進めた。最新の研究成果や,古典的な結果についての新しい知見を,多く得ることができた。若手研究者と定期的にセミナーを行い,研究成果や問題の認識の仕方などを交換することができた。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

力学系の視点からmoduli空間をとらえるという着想により,研究の新しい方向性が得られた。また同時に,多くの興味深い例を系統的に構成する方法を手に入れることもできた。
シフト作用素の存在問題に取り組み始め,興味深い実験結果が得られたため,その解析に取り組むとともに,背後にある理論の追求というテーマが現れてきた。
国内外の研究者との研究交流を進めることができ,視野・知見を広げることができた。

Strategy for Future Research Activity

KZ型方程式のmoduli空間のなす力学系において,軌道の記述,不変量の構成など,基本的問題に取り組み,moduli空間の解析を進めていく。
シフト作用素の存在問題について,計算機実験を進めていく。またRiemann-Hilbert問題など関連する研究を調べ,存在問題の解決の道筋を追求する。
研究集会への参加・成果発表などを通して,国内外の研究者との交流を進め,最新の知見を取り入れ,研究テーマの具体化を図る。

Report

(3 results)
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • 2020 Annual Research Report
  • Research Products

    (12 results)

All 2023 2022 2021 2020

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results,  Open Access: 2 results) Presentation (7 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Invited: 7 results) Book (1 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Journal Article] Complete list of connection relations for Gauss hypergeometric differential equation2022

    • Author(s)
      Yoshishige Haraoka
    • Journal Title

      Kumamoto Journal of Mathematics

      Volume: 35 Pages: 1-60

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Multiplicative middle convolution for KZ equations2020

    • Author(s)
      Yoshishige Haraoka
    • Journal Title

      Mathematische Zeitschrift

      Volume: 294 Issue: 3-4 Pages: 1787-1839

    • DOI

      10.1007/s00209-019-02322-9

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On Oshima's middle convolution2020

    • Author(s)
      Yoshishige Haraoka
    • Journal Title

      Josai Mathematical Monographs

      Volume: 12 Pages: 19-51

    • NAID

      120006839339

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Presentation] Shift operators and Riemann-Hilbert problem2023

    • Author(s)
      Yoshishige Haraoka
    • Organizer
      アクセサリー・パラメーター研究会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Dynamical system on KZ type equations and deformation2022

    • Author(s)
      Yoshishige Haraoka
    • Organizer
      Web-seminar on Painleve equations and related topics
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Dynamical system on KZ type equations and generalization of deformation2022

    • Author(s)
      Yoshishige Haraoka
    • Organizer
      Painleve equations: From classical to modern analysis
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] KZ型方程式の力学系2022

    • Author(s)
      原岡喜重
    • Organizer
      琉球超幾何ワークショップ2022
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Monodromy invariant Hermitian forms for Fuchsian differential equations2021

    • Author(s)
      Yoshishige Haraoka
    • Organizer
      研究集会「Exact WKB Analysis, Microlocal Analysis, Painleve equations and Related Topics」
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 高次元Katz理論2021

    • Author(s)
      原岡喜重
    • Organizer
      研究集会「微分方程式の総合的研究」
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Katz theory in several variables2020

    • Author(s)
      Yoshishige Haraoka
    • Organizer
      Groupe de Travail on differential equations in Paris
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Book] Linear differential equations in the complex domain -From classical theory to forefront-2020

    • Author(s)
      Yoshishige Haraoka
    • Total Pages
      412
    • Publisher
      Springer
    • ISBN
      9783030546625
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Funded Workshop] アクセサリー・パラメーター研究会2023

    • Related Report
      2022 Annual Research Report

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Published: 2020-04-28   Modified: 2024-12-25  

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