Birational geometry and derived categories toward non-commutative birational geometry
| Project/Area Number |
23K20783
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| Project/Area Number (Other) |
21H00970 (2021-2023)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2024)
Single-year Grants (2021-2023) |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
川又 雄二郎 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別教授 (90126037)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (20503882)
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70634210)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥16,770,000 (Direct Cost: ¥12,900,000、Indirect Cost: ¥3,870,000)
Fiscal Year 2025: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
Fiscal Year 2024: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
Fiscal Year 2023: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
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| Keywords | 代数多様体 / 導来圏 / 双有理幾何学 / 連接層 / 非可換変形 / 連接層の導来圏 / 非可換環 / Hochschildコホモロジー / 非可換代数多様体 / 導来マッカイ対応 / クレパント特異点解消 / 半直交分解 / 変形理論 / フロップ / コンパクト複素多様体 / 代数曲面 / Q-Gorenstein変形 / pretilting |
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| Outline of Research at the Start |
この研究では代数多様体の双有理幾何学と導来圏理論の関係を探求する。両者は無関係に見える話題であるが、標準因子を通して実は密接に関係していることが観察されている。極小モデル理論のプロセスと導来圏の半直交分解とはパラレルであり、表現論におけるマッカイ対応も導来圏を通して幾何学的に捉えることができる。この研究では代数多様体の幾何学的構造を導来圏理論の立場から幅広く取り扱う。導来圏は非可換性に特徴があり、非可換代数幾何学への道を切り開きたい。
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず非可換変形の一般論を考察し、滑らかな代数多様体を非可換多様体へ変形することを研究した。非可換環は局所化を持たないので、非可換スキームの構造層が定義できないというところがネックとなった。そこで、半順序集合によってパラメトライズされた非可換代数の集まりと、それらの間の貼り合わせ準同型写像の集まりとして非可換スキームを定義した。貼り合わせ写像はコサイクル条件、平坦性、双有理条件を仮定した。変形の底空間としては可換な Artin 局所環またはその射影的極限を考える。変形は、平坦な非可換スキームと、剰余環に底変換したものから元の代数多様体への同型射の組として定義した。Artin 局所環の小さな拡大に対して、変形を延長できるかどうかという問題が、３次の Hochschild コホモロジーの一部に値を持つ障害類によって判定でき、しかも延長可能である場合には延長の集合が２次の Hochschild コホモロジーの部分集合によって記述されることを証明した。系として、半普遍変形の底空間の一般的な記述ができることを証明した。
これと並行して、導来 McKay 同値が非可換変形によって保存されるかという問題を研究した。Gorenstein 特異点に対して、可換クレパント特異点解消 (CCR)と、非可換クレパント特異点解消 (NCCR)が共に存在すると仮定した場合に、導来圏が同値になるというのが導来 McKay 同値予想である。この予想は、低次元の場合などではすでに証明されている。そこで、CCRとNCCRを同時に非可換変形したとき、導来同値が延長されるかという問題を考察した。そして、特異点が２次元の巡回商特異点である場合を取り上げ、この予想が正しいことを検証した。その過程で、非可換スキーム上の連接加群のアーベル圏を定義したり、tilting 加群が存在することを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非可換変形の基礎理論についての研究が進展した。また、導来マッカイ対応が非可換変形によって延長されることを特別な場合に証明した。これは全く新しい研究方向である。
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| Strategy for Future Research Activity |
非可換変形の理論をさらに進展させる。土台となる代数多様体の非可換変形の上に連接層の圏の変形も構成し、Hochschildコホモロジー全てが現れるようにする。そしてそれらへD K同値を延長する。また、非可換変形の応用を探る。さらに、特異点を持った代数多様体の連接層の導来圏の半直交分解を研究するとともに、特異点の圏も対応した半直交分解を持つかどうかを調べる。
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Report
(3 results)
Research Products
(18 results)
