| Project/Area Number |
23K20789
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| Project/Area Number (Other) |
21H00976 (2021-2023)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2024)
Single-year Grants (2021-2023) |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
松村 慎一 東北大学, 理学研究科, 教授 (90647041)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥8,970,000 (Direct Cost: ¥6,900,000、Indirect Cost: ¥2,070,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
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| Keywords | 半正値性 / 単線織性 / 解析的極小モデル理論 / 射影性 / Kodaira問題 / slope rational quotients / ケーラー空間 / Hodge計量 / コニック束 / 森ファイバー空間 / 擬有効性 / 接ベクトル層 / 一般化された極小モデル理論 / 非消滅予想 / 有理連結性 / 力学系 / 自己同型群 / 基本群の表現 / 接ベクトル束 / 極小モデル理論 / Fano多様体 / 基本群 / オービフォルド基本群 / アーベル多様体 / Calabi-Yau多様体 / 正則symplectic多様体 / Beauville-Bogomolov分解 / 葉層構造の理論 / 順像層の解析的正値性 / エタール基本群 / 準タール被覆 / 有理曲線 / 特殊型多様体 / 断面曲率 / オービフォルド |
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| Outline of Research at the Start |
複素幾何や代数幾何に現れる“様々な非負曲率性”を特殊型多様体の枠組みから統一的に理解する.
(a) 接ベクトル束の特異計量, (b) 正則断面曲率, (c) オービフォルドの反標準束を研究し, (a), (b), (c)の意味で“非負曲率”を持つKaehler多様体の有理連結射やAlbanese射に対する構造定理を確立する. また, 非負曲率を持つKaehler多様体の射影代数多様体による近似に関するKodaira問題を研究し, 非負曲率を持つKaehler多様体の代数性を明らかにする.
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では, 複素幾何や代数幾何に現れる“様々な非負曲率性”を研究する. 具体的には, (a) 接ベクトル束の特異計量, (b) 正則断面曲率, (c) オービフォルドの反標準束に対する“非負曲率性”を研究し, 非負曲率を持つ射影多様体やKaehler多様体に対する構造定理を確立し分類理論へ応用する.
2022年度は擬有効な接ベクトル束を持つ射影代数多様体の極小モデル理論について研究した. 成果として, 因子収縮・flip・Fano射を繰り返した後に, 極小モデル理論の出力としてアーベル多様体の準エタール商が現れることを証明した. その過程で, 正規多様体上の擬有効な連接層の特異計量の理論を整備した点も成果のひとつである.
また, 数値的に半正な反標準束を持つKLT対の構造定理の極小モデル理論への応用についても研究した. 具体的には, 一般化された極小モデル理論(the generalized Minimal Model Program)のカテゴリーでの非消滅予想への応用を研究した. その成果として半正値な反標準束に対する非消滅予想を有理連結多様体に場合に帰着することに成功した. これは一般化された非消滅予想に対して有理連結多様体の力学系の視点という新しい視点を与える. 証明では, 数値的に半正な反標準束を持つKLT対がCalabi-Yau多様体上の定数射を持つ点に注目し, 基本群の有理連結多様体の自己同型群への表現を調べることで, 数値的に半正な反標準束の順像層の平坦性を導いた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
構造定理の研究は順調ではあるものの2021年のような決定的な成果を得ることはできなかった. 一方で, 構造定理の応用として, 研究範囲を一般化された極小モデル理論の非消滅予想まで拡大することができた. これは良い意味で想定外あり当初の計画を超える成果である.
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| Strategy for Future Research Activity |
非代数的なケーラー空間に対する構造定理を研究する. 特に, 有理連結射の射影性やそのベースの有理曲線を調べ, 既存の代数多様体に対する議論を実行するための障害を明らかにする. また, 傾斜有理連結射(slope rational quotients)の研究も行う. そのために標準束の順像層に定まるHodge計量の特異性の評価する.
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