| Project/Area Number |
23K20790
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| Project/Area Number (Other) |
21H00977 (2021-2023)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2024)
Single-year Grants (2021-2023) |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
山口 孝男 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (00182444)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
永野 幸一 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (30333777)
本多 正平 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (60574738)
三石 史人 福岡大学, 理学部, 助教 (80625616)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥10,010,000 (Direct Cost: ¥7,700,000、Indirect Cost: ¥2,310,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
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| Keywords | 崩壊理論 / アレクサンドロフ空間 / リッチ極限空間 / 境界つきリーマン多様体 / CAT 空間 / CAT空間 / リプシッツ・ホモトピー収束 / 局所CAT(1)空間 / 線織面 / 位相的特異点集合 / 境界つき多様体 / CAT(1)空間 |
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| Outline of Research at the Start |
リーマン多様体の収束・崩壊理論は,多様体の曲率と位相の関係を解明する上で重要であり、微分幾何学の主要な研究テーマの一つになっている. 本研究は、断面曲率やリッチ曲率の下からのバウンドの下に、リーマン多様体の収束・崩壊の一般理論構築に向けた取り組みである.位相幾何的手法、極限空間に代表される曲率の概念をもった特異空間の幾何学と幾何解析的手法など, 様々な手法を一層進展させ、総合的に研究を進めて行くことにより、次の課題に挑む:
(I) 崩壊多様体と極限空間の間の位相的、幾何的、解析的な関係を解明する.
(II) 極限空間に代表される曲率の概念をもつ距離空間の幾何解析を進展させる.
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲率が上に有界な距離空間は局所CAT(1)空間ともよばれ、幾何学的群論をはじめ、他分野にも広く関連する。そのような空間の局所構造は極めて複雑で、これまで２次元においてすら未解明のままであった。これまでの研究で、我々は曲率が上に有界な２次元距離空間の局所構造を決定した。これは、曲率が上に有界な距離空間の一般的な局所構造を(２次元ではあるものの)世界で初めて解明したという点でも意義深い。今年度の本研究においては、そのような空間の局所CAT(1)多面体によるホモトピー近似とガウスボンネ定理を得た。ガウスボンネの定理を示す第一段階として空間の曲率測度を、空間をホモトピー近似する局所CAT(1)多面体の曲率測度の極限として定式化した。すると一般の空間のホモトピー収束が曲率測度の収束を導くことも自然に従う。さらに曲率測度の特異集合上の明示公式も得た。また線織面の存在と距離円のホモトピー型がそのような空間の特徴づけることを証明した。(永野幸一氏と塩谷隆氏との共同研究）
非崩壊の枠組みにおけるアレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピー収束に関して、定性的な結果が三石・山口により知られていた。我々はこの結果を改良し、定量的な結果を得た。すなわち①リプシッツ・ホモトピー収束に関わるすべてのリプシッツ写像の一様なリプシッツ定数が存在することを示し、②このリプシッツ・ホモトピー収束の下で extremal subsetsが極限空間の extremal subsetsに写されること、③空間の正則部分では殆ど等張的であることを示した。証明の鍵は、アレクサンドロフ空間のgood covering(良い被覆)を、そのサイズの一様性をキープしたまま任意に小さく取れることを示すことであり、Perelman-Petrunin の結果を拡張進展させることによりこれを示した。（三石史人氏、藤岡禎司氏との共同研究）
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
アレクサンドロフ空間の定量的リプシッツ・ホモトピー収束の論文を完成し、また２次元局所CAT(1)空間の大域構造についてもほぼ論文が完成しているため。
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| Strategy for Future Research Activity |
先ずは、境界付き多様体の極限空間の決定に関する論文完成、およびリッチ曲率が下に有界なリーマン多様体で内半径崩壊するものの極限空間に関する論文完成を目指す。
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