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標準束の複素幾何学; 標準計量の退化と漸近挙動の研究

Research Project

Project/Area Number 23K20792
Project/Area Number (Other) 21H00979 (2021-2023)
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Allocation TypeMulti-year Fund (2024)
Single-year Grants (2021-2023)
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

高山 茂晴  東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (20284333)

Project Period (FY) 2021-04-01 – 2026-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2024)
Budget Amount *help
¥11,960,000 (Direct Cost: ¥9,200,000、Indirect Cost: ¥2,760,000)
Fiscal Year 2025: ¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2024: ¥2,470,000 (Direct Cost: ¥1,900,000、Indirect Cost: ¥570,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,730,000 (Direct Cost: ¥2,100,000、Indirect Cost: ¥630,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,470,000 (Direct Cost: ¥1,900,000、Indirect Cost: ¥570,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Keywords相対標準束 / 標準計量 / 漸近挙動 / Griffiths正値性 / 最小拡張 / 複素幾何学
Outline of Research at the Start

高次元代数多様体のモジュライ空間の複素幾何学的な側面からの理論の構築を目指す. 退化も許す複素多様体の族 f : X --> Y に対し, その相対標準束 K_{X/Y} は f の多くの基本的な情報を持つ. その各巾 mK_{X/Y}, さらには順像層 f_*(m K_{X/Y}) に幾何的な設定に応じた標準計量が入る. これらの標準計量および曲率形式の性質は, 非常に基本的かつ重要であると期待される. これを近年目覚しく発展している諸理論, 代数多様体の極小モデル理論, Donaldson, TianらのKahler-Einstein計量に代表される標準ケーラー計量の存在とK安定性の理論, 正則関数のL2拡張理論を総合して研究を行う.

Outline of Annual Research Achievements

複素多様体間の固有正則写像 f : X --> Y に関して, その相対随伴束 K_{X/Y}+mL およびその順像層 f_*(K_{X/Y}+mL) の正値性に関する研究を行った. この正値性の研究は f : X --> Y や L をどう設定するかにより, 多種多様な問題に応用される. より具体的には次のような場合に研究を行った. 一つ目は E を Y 上の階数 r の豊富ベクトル束とする. f : X=P(E) --> Y を E の射影化, L = O(1) --> X を標準超平面切断束とする. このとき f_*(K_{X/Y}+rL) = det E, f_ * (K_{X/Y}+(r+1)L) = E x det E となる. E が豊富ならば, これら det E, E x det E には順像層として中野正なエルミート計量が入る. Griffiths予想とは「E にGriffiths正なエルミート計量が入る」というものであり, 上の考察とは幾らかの(大きな)食い違いがある. det E, E x det E の正値性を与える計量を注意深く構成し, 正値性を評価する必要がある. 二つ目は, f : X --> Y の一般ファイバーの対数的幾何種数が1の場合の研究である. 極小モデルプログラムへの応用を視野に入れ3--4年前の研究を発展させる形で研究を行った.
一方,7月下旬には国際研究集会「多変数複素解析葉山シンポジウム」を、12月には国際研究集会「複素幾何学シンポジウム」を共同開催した.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

これまでの解析的な研究成果をもとに、代数幾何の研究者と共同研究が進行しつつあるから。

Strategy for Future Research Activity

これまでの研究を継続して研究を行う. 複素多様体間の固有正則写像 f : X --> Y に関して, その相対随伴 K_{X/Y}+mL およびその順像層 f_*(K_{X/Y}+mL) の正値性に関する研究を行う. E を Y 上の階数 r の豊富ベクトル束とする. f : X = P(E) --> Y を E の射影化, L = O(1) --> X を標準超平面切断束とする. このとき f_*(K_{X/Y}+rL) = det E, f_*(K_{X/Y}+(r+1)L) = E x det E となる. Eが豊富ならば, これら det E, E x det E には順像層として中野正なエルミート計量が入る. det E, E x det E の正値性を与える計量を注意深く構成し, 正値性を評価する必要がある. これまでの経験では、O(1)の正曲率エルミート計量 h を f の各ファイバー毎にどれだけ射影空間 P^{r-1} のO(1)の標準的な計量と近く取れるか、という点が問題を解く鍵のようである。計量 h の構成に大沢-竹腰のL2拡張定理が適用できるのではないかと期待している。この部分についてはL2拡張に詳しい研究協力者と協力する。
一方で, f : X --> Y の一般ファイバーの対数的幾何種数が1の場合の研究を行う. 極小モデルプログラムへの応用を視野に入れ4--5年前の研究を発展させる形で研究を行う. 標語的には捩れ川又正値性定理と呼ばれる順像層の正値性定理を示す. これを応用し、極小モデル理論におけるある種の一般化対数的標準環の有限生成性を示す. ここでは順像層 f_*(K_{X/Y}+L) の正値性よりむしろ、K_{X/Y}+L の正値性が鍵となる. この部分については極小モデル理論の専門家と協力する.

Report

(3 results)
  • 2023 Annual Research Report
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • Research Products

    (12 results)

All 2024 2023 2022 2021

All Journal Article (4 results) (of which Peer Reviewed: 4 results,  Open Access: 1 results) Presentation (2 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 2 results) Book (1 results) Funded Workshop (5 results)

  • [Journal Article] Singular Griffiths semi-positivity of higher direct images2023

    • Author(s)
      Takayama Shigeharu
    • Journal Title

      Mathematische Annalen

      Volume: 388 Issue: 4 Pages: 4343-4353

    • DOI

      10.1007/s00208-023-02632-8

    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Singularities of L^2-metric in the canonical bundle formula2022

    • Author(s)
      Shigeharu Takayama
    • Journal Title

      Amer. J. Math.

      Volume: 144

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Mumford goodness of canonical L^2-metrics on direct image sheaves over a curve2022

    • Author(s)
      Shigeharu Takayama
    • Journal Title

      Adv. Math.

      Volume: 405

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Asymptotic expansions of fiber integrals over higher-dimensional bases2021

    • Author(s)
      Shigeharu Takayama
    • Journal Title

      J. reine angew. Math.

      Volume: 773 Issue: 773 Pages: 67-128

    • DOI

      10.1515/crelle-2020-0027

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Limits of L^p-space structures on pluricanonical systems.2023

    • Author(s)
      Takayama Shigeharu
    • Organizer
      An Alpine meeting on nonpositive curvature in Kaehler geometry.
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 多重標準線形系の L^p 構造の極限について2022

    • Author(s)
      高山 茂晴
    • Organizer
      第28回複素幾何シンポジウム
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Invited
  • [Book] The Bergman Kernel and Related Topics: Hayama Symposium on SCV XXIII, Kanagawa, Japan, July 2022 (Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 447)2024

    • Author(s)
      Kengo Hirachi, Takeo Ohsawa, Shigeharu Takayama, Joe Kamimoto
    • Total Pages
      377
    • Publisher
      Springer
    • ISBN
      9819995051
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
  • [Funded Workshop] 第24回多変数複素解析葉山シンポジウム2023

    • Related Report
      2023 Annual Research Report
  • [Funded Workshop] 第29回複素幾何シンポジウム2023

    • Related Report
      2023 Annual Research Report
  • [Funded Workshop] 第23回多変数複素解析葉山シンポジウム2022

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Funded Workshop] 第22回多変数複素解析葉山シンポジウム2021

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
  • [Funded Workshop] 第27回複素幾何シンポジウム2021

    • Related Report
      2021 Annual Research Report

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Published: 2021-04-28   Modified: 2024-12-25  

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