Differential geometrey of singularities and its applications
| Project/Area Number |
23K20794
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| Project/Area Number (Other) |
21H00981 (2021-2023)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2024)
Single-year Grants (2021-2023) |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
梅原 雅顕 東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (90193945)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山田 光太郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (10221657)
Rossman W.F 神戸大学, 理学研究科, 教授 (50284485)
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 教授 (70451432)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥17,290,000 (Direct Cost: ¥13,300,000、Indirect Cost: ¥3,990,000)
Fiscal Year 2025: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2024: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2023: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2021: ¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
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| Keywords | 特異点 / 微分幾何学 / 曲面 / 波面 / 部分多様体 / 曲率 / 超曲面 / 半正定値計量 / 交叉帽子 |
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| Outline of Research at the Start |
筆者は，カスプ辺やツバメの尾などの特異点の判定条件を与える研究に始まり，特異点を外の空間から誘導される計量の退化点とみなして，外の空間を払拭した立場で特異点を扱う枠組みとして「連接接束」の概念を導入し，3 次元定曲率空間内の曲面のガウス曲率，位相，特異点の情報を記述する合計４個の非自明なガウス・ボンネ型の公式を示し，いままで知られていなかった新しい諸結果を得た．これをふまえ本研究では，これまでの２次元多様体上の半正定値計量と特異点との関係についての研究を推進するだけでなく，高次元の多様体の場合にまで研究を拡張し，リーマン多様体あるいはローレンツ多様体内の部分多様体の特異点への応用を与える．
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．分担者の山田氏，佐治氏，協力者の本田氏，直川氏との共同研究として，波面について知られるZakalyukinの補題をフロンタル特異点にまで拡張し応用を与えた．特に以前，筆者等が与えたツバメの尾の判定条件の証明が簡明になった．関連して，フロンタルではないが，曲面に現れる主要な特異点である「交叉帽子特異点」についても同様の研究を行い，Zakalyukin 型の定理を証明することに成功した．これらを２つの論文にまとめた．
２．3次元de Sitter空間の平均曲率1の空間的な曲面として，「不動点をもつ１係数等長変換群」で不変な曲面が複数存在し，G-catenoid とよばれる．分担者の山田氏・ラスマン氏，協力者の藤森氏，國分氏，川上氏，Yang氏らと，それらの多くが，非自明な解析的な拡張をもち，２次元Double-Cone manifoldの構造をもつことを示した．さらに，この事実から，拡張後のG-catenoidが，これ以上の解析的拡張をもたないことが示せた．この成果は論文として現在投稿中である．
３．ローレンツ・ミンコフスキー時空における超曲面は，すべての点で誘導計量が退化するとき「光的」であるという．分担者の山田氏，協力者の赤嶺氏，本田氏との共同研究により，光的な超曲面で対応する光的ベクトル場が完備となるものは，ユークリッド空間の超曲面の平行曲面族から構成されるものに限ることを示し，いくつかの重要な応用を与えた．この成果は，論文として現在投稿中である．
４．「三次元球面に，はめ込まれた平坦トーラスの直径が，球面の直径に一致するだろう」という予想に長年，筆者は取り組み成果を積んできたが，協力者の北川氏，榎本氏らと共同研究を行い，１つの新たな知見を得ることができた．これを基に今後も研究を継続していく所存である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
１．「計量の退化点と，写像の特異点との関係」については，初年度の計画だけでなく，交叉帽子特異点についても同様の結果が得られ，予想以上の成果があった．
２．「特異点をもつ曲面・超曲面への上記の研究の応用」については，概ね当初の計画どおりの成果を得た．
３．「微分幾何の諸問題への応用」については，論文としてまとめるほどには成果があがらなかったが，今後の研究発展が期待できる状況である．
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| Strategy for Future Research Activity |
現段階で研究は，ほぼ計画どおり遂行されており，今後も予定どおり研究を遂行する所存である．
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Report
(1 results)
Research Products
(3 results)
