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Differential geometrey of singularities and its applications

Research Project

Project/Area Number 23K20794
Project/Area Number (Other) 21H00981 (2021-2023)
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Allocation TypeMulti-year Fund (2024)
Single-year Grants (2021-2023)
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionInstitute of Science Tokyo

Principal Investigator

梅原 雅顕  東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (90193945)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 山田 光太郎  東京工業大学, 理学院, 教授 (10221657)
Rossman W.F  神戸大学, 理学研究科, 教授 (50284485)
佐治 健太郎  神戸大学, 理学研究科, 教授 (70451432)
Project Period (FY) 2021-04-01 – 2026-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2024)
Budget Amount *help
¥17,290,000 (Direct Cost: ¥13,300,000、Indirect Cost: ¥3,990,000)
Fiscal Year 2025: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2024: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2023: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2021: ¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Keywords特異点 / 微分幾何学 / 曲面 / 波面 / 部分多様体 / ツバメの尾 / 3次元球面の平坦トーラス / 曲面の臍点 / 実解析写像の特異点 / 曲率 / 超曲面 / カスプ辺 / 半正定値計量 / 交叉帽子
Outline of Research at the Start

筆者は,カスプ辺やツバメの尾などの特異点の判定条件を与える研究に始まり,特異点を外の空間から誘導される計量の退化点とみなして,外の空間を払拭した立場で特異点を扱う枠組みとして「連接接束」の概念を導入し,3 次元定曲率空間内の曲面のガウス曲率,位相,特異点の情報を記述する合計4個の非自明なガウス・ボンネ型の公式を示し,いままで知られていなかった新しい諸結果を得た.これをふまえ本研究では,これまでの2次元多様体上の半正定値計量と特異点との関係についての研究を推進するだけでなく,高次元の多様体の場合にまで研究を拡張し,リーマン多様体あるいはローレンツ多様体内の部分多様体の特異点への応用を与える.

Outline of Annual Research Achievements

1. 一昨年度に取り組んだ藤森氏・川上氏・國分氏・Rossman氏・山田氏との「実解析写像の像の解析的拡張の不可能性」の判定に大きな進展があり,11月の数理解析研究所の研究集会において研究発表を行った.これに平行して,東工大の山田氏,横浜国大の本田氏との共同研究で,上記の理論が完成したという仮定のもとで,「de Sitter 時空内の平均曲率が1のカテノイド型の空間的曲面」の解析的な拡張後の曲面がすべて,これ以上の解析的拡張を持たないことを示した.
2. 埼玉大学の福井氏,東工大の卒業生である木下氏,中国のDonghe Pei氏とHaiou Yu氏らと,3次元Minkowski時空の一般化されたカスプ辺の研究について,昨年度に取り組めなかった次数が4の場合を研究し,論文にして投稿した.
3. 熊本大学の安藤直也氏との共同研究として,3次元時空の空間的曲面と時間的曲面それぞれについて,与えたれた滑らかな関数のヘッセ行列から誘導される行列の固有ベクトル場が曲率線となる座標系を見いだし,応用として,これらの時空の曲面の臍点の指数に関する新たな知見を論文にまとめ,年度内に国際誌に掲載された.
4. 研究分担者の山田氏・佐治氏との共同研究として昨年度に行った「3次元の定曲率空間のカスプ辺の写像芽」に関する研究の発展として,一般化されたツバメの尾を定義し,これらについても同様の結論を引き出すことに成功した.
5. 昨年度に引き続き,協力者の北川氏・榎本氏と,3次元球面内において「はめ込まれた平坦トーラスの直径予想」に取り組み,最終的な解決に「あと一歩」という状況に到達した.また,指導していた修士学生の高田君と平面三角形の諸心の他の空間形への変形について,筆者の実解析写像の研究の応用という位置づけで共同研究を行い,成果があがりつつある.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

昨年度から取り組んできた内容が確実に成果を挙げている.熊本大学の安藤氏との臍点の研究が新たに始まり,昨年停滞していた藤森氏・川上氏・國分氏・Rossman氏・山田氏との実解析写像の像の解析的拡張の不可能性の判定についても,研究が再開され,着実に発展している状況である.

Strategy for Future Research Activity

今年度に多くの研究が進展し,また,「研究実績の概要」でも述べたように,いくつか新たなテーマで研究が始まっている.これをふまえ,次年度は,できるだけ,その成果を論文にまとめて投稿することを目標にしたい.

Report

(3 results)
  • 2023 Annual Research Report
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • Research Products

    (11 results)

All 2024 2023 2022 2021

All Journal Article (5 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 5 results,  Open Access: 4 results) Presentation (6 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Invited: 6 results)

  • [Journal Article] Deformations of cuspidal edges in a 3-dimensional space form2024

    • Author(s)
      K. Saji, M. Umehara and K. Yamada
    • Journal Title

      Kodai Mathematical Journal

      Volume: 47 Issue: 1 Pages: 67-89

    • DOI

      10.2996/kmj47105

    • ISSN
      0386-5991, 1881-5472
    • Year and Date
      2024-03-11
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Umbilics of Surfaces in the Lorentz-Minkowski 3-Space2023

    • Author(s)
      Ando Naoya, Umehara Masaaki
    • Journal Title

      Results in Mathematics

      Volume: 78 Issue: 6

    • DOI

      10.1007/s00025-023-02013-2

    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Symmetries of cross caps2023

    • Author(s)
      A. Honda, K. Naokawa, K. Saji, M. Umehara, K. Yamada
    • Journal Title

      Tohoku Mathematical Journal

      Volume: 75 Issue: 1 Pages: 131-141

    • DOI

      10.2748/tmj.20211203

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] A generalization of Zakalyukin's lemma, and symmetries of surface singularities2022

    • Author(s)
      Honda Atsufumi、Naokawa Kosuke、Saji Kentaro、Umehara Masaaki、Yamada Kotaro
    • Journal Title

      Journal of Singularities

      Volume: 25 Pages: 299-324

    • DOI

      10.5427/jsing.2022.25m

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Analytic extensions of constant mean curvature one geometric catenoids in de Sitter 3-space2022

    • Author(s)
      Shoichi Fujimori, Yu Kawakami, Masatoshi Kokubu, Wayne Rossman, Masaaki Umehara, Kotaro Yamada and Seong-Deog Yang
    • Journal Title

      Differential Geometry and Its Applications

      Volume: 84 Pages: 101924-101924

    • DOI

      10.1016/j.difgeo.2022.101924

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Umbilics of surfaces in Euclidean space or Lorentz-Minkowski space2024

    • Author(s)
      梅原雅顕
    • Organizer
      The 4th Internatinal Conference on Surfaces, Analysis and Numerics in Differetial Geometry
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 実解析写像の像の解析的拡張の可能性の判定と応用2023

    • Author(s)
      梅原雅顕
    • Organizer
      京都大学数理解析研究所
    • Related Report
      2023 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Maximal surfaces in Lorentz-Minkowski 3-space and related topics2022

    • Author(s)
      梅原雅顕
    • Organizer
      Singularity Theory and Differential Geometry Rims-Sing3 work Shop
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Criteria of unextendability of the images of real analytic maps and their application for constant mean curvature one surfaces in de Sitter 3-space2022

    • Author(s)
      梅原雅顕
    • Organizer
      Workshop on Surface Theory(国際研究集会・3月・横浜)
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Null hypersurfaces as wave fronts in Lorentz-Minkowski space2022

    • Author(s)
      梅原雅顕
    • Organizer
      Workshop on Differential Geometry and Geometric Analysis -Celebration of Professor Miyuki Koiso's Retirement-(3月・九州大学)
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] 3次元 Euclid 空間の曲面の特異点の対称性について2021

    • Author(s)
      梅原雅顕
    • Organizer
      福岡大学微分幾何研究集会(11月・福岡大学セミナーハウス)
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Invited

URL: 

Published: 2021-04-28   Modified: 2024-12-25  

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