Floer理論に立脚したミラー対称性予想にまつわる幾何学の新展開

• Project/Area Number: 23K20796
• Project/Area Number (Other): 21H00983 (2021-2023)
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund (2024); Single-year Grants (2021-2023)
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 太田 啓史 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (50223839)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥17,030,000 (Direct Cost: ¥13,100,000、Indirect Cost: ¥3,930,000); Fiscal Year 2025: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000); Fiscal Year 2024: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2023: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2022: ¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000); Fiscal Year 2021: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
• Keywords: シンプレクティック幾何 / Floer理論 / ミラー対称性 / 倉西構造 / 仮想基本チェイン / Hamilton Floerホモロジー / Arnold予想 / Morse-Bott / 指数減衰評価

Outline of Research at the Start

代表者は、共同研究者とシンプレクティック多様体内のラグランジアン部分多様体に対するFloer コホモロジーの障害・変形理論の基礎理論を構築した。本課題ではその成果を土台とし、より圏論的枠組みの中で、ミラー対称性予想とそこから提起されるシンプレクティック幾何および（複素）代数幾何の新しい数学を構築し展開する。また、これらの数学を支える倉西構造による仮想基本チェインの理論の整備発展も並行して行う。

Outline of Annual Research Achievements

2020年に出版された、研究代表者とその共同研究者たちによるリサーチモノグラフ
`Kuranishi structures and virtual fundamental chains', (Springer-Nature)において我々が導入した概念「線形Kシステム」を、シンプレクティック多様体上の周期的ハミルトン系に関する Floer 方程式の解の モジュライ空間を用いて実際に幾何学的に実現し、その不変性と比較定理を証明した論文が査読過程を経てアクセプトされ、C. Viterbo氏60歳のFestchrift volumeに掲載された。これによりMorse-Bottの一般的な状況で、ハミルトン系の周期解の個数に関するBetti数版Arnold予想が従う。この出版は、欧米をも含めた当該分野において意味するところは大きい。証明には、上記リサーチモノグラフの結果が有効に用いられる。特に、outer collarを用いてファイバー積とcompatibleな倉西構造の族が構成した。
また、上のリサーチモノグラフの出版を受けて、種数 0 の境界付き円盤からの擬正則写像のモジュライ空間の無限系列に対し，境界と角で両立条件をみたす倉西構造の系列とCF摂動の系列を体系的に構成する論文を投稿した。 得られた倉西構造の一 意性も確立した。
以上は、深谷賢治氏(SCGP)、Yong-Guen Oh氏(IBS CGP)、小野薫氏(京都大学)との共同研究の成果である。

COVID19のパンデミックの状況は昨年度よりは緩和したものの、海外出張あるいは海外からの招聘には依然制約が多く、かつロシアウクライナ情勢により海外出張を断念せざるをえない状況となった。その分、国内で研究集会を複数開催し、国内に滞在中の海外研究者を含め活発で密な議論を行い、その中で新しい問題や着想を得ることができたことは収穫であった。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

昨年度までにくらべ緩和されたものの、COVID19パンデミックのため、2022年度も海外渡航については依然制約が課せられ、併せてロシアウクライナ戦争勃発のため、海外研究者との対面での研究集会、研究打ち合わせが困難な状況が続いた。国内研究者との交流の機会はある程度回復することができたものの、国際共同研究計画を中心とする本課題遂行においては、少なからず影響を与え、通常の状態より遅れが生じたことは否めない。新しい研究を議論し始めるというより、今までの研究の蓄積を論文にまとめあるいは改訂する作業に重点をおくようにして対応した。

Strategy for Future Research Activity

ロシアウクライナ情勢の沈静化を願いつつ、あわせてCOVID19パンデミックの状況が改善され、徐々にではあるが政府の対応等に緩和が見られ国内外の研究交流が再開されることを期待しつつ、なるべく当初の研究計画通り、研究協力者と密に連絡をとりながら国際共同研究を推進することを目指す。また、関連したテーマでの対面研究集会も徐々に再開していきたい。海外からの往来が難しい状況で続けば、国内において研究集会やワークショップを開催し、広い視野をもって議論を深めていく。また、まとめた論文の投稿作業も並行しておこなっていく。

Research Products

• [Int'l Joint Research] Simons Center for Geometry and Physics/Stony Brook University(米国)
• [Int'l Joint Research] Center for Geometry and Physics(韓国)
• [Int'l Joint Research] Simons Center for Geometry and Physics/Stony Brook University(米国)
• [Int'l Joint Research] Center for Geometry and Physics(韓国)
• [Journal Article] Construction of a linear K-system in Hamiltonian Floer theory (2022)
  • Author(s): Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta, Kaoru Ono
  • Journal Title: Journal of Fixed Point Theory and Applications Volume: 24 Issue: 2 Pages: 461-570
  • DOI: 10.1007/s11784-022-00960-x
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Presentation] Renormalization and Floer theory (2022)
  • Author(s): Hiroshi Ohta
  • Organizer: Workshop on ‘Renormalization, Factorization Algebra and Mirror Symmetry’
  • Invited
• [Presentation] Analytic aspect of Fukaya category (2021)
  • Author(s): Hiroshi Ohta
  • Organizer: Mathematical Society of Japan and Korean Mathematical Society Joint Meeting
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Funded Workshop] Workshop on ‘Symplectic Geometry and Related Topics’ (2022)
• [Funded Workshop] Workshop on ‘Topological Recursion and Vertex Operator Algebras’. (2022)