力学的微分トポロジーによる葉層・接触・シンプレクティック構造の研究
| Project/Area Number |
23K20798
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| Project/Area Number (Other) |
21H00985 (2021-2023)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2024)
Single-year Grants (2021-2023) |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
三松 佳彦 中央大学, 理工学部, 教授 (70190725)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
直江 央寛 中央大学, 理工学部, 共同研究員 (10823255)
高倉 樹 中央大学, 理工学部, 教授 (30268974)
太田 啓史 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (50223839)
三好 重明 中央大学, 理工学部, 教授 (60166212)
粕谷 直彦 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (70757765)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥10,270,000 (Direct Cost: ¥7,900,000、Indirect Cost: ¥2,370,000)
Fiscal Year 2025: ¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000)
Fiscal Year 2024: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 葉層構造 / 接触構造 / シンプレクティック構造 / Anosov 流 / 強擬凸性 / Anosov 葉層 / Lefschetz fibration / Poisson 構造 |
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| Outline of Research at the Start |
双曲力学系には葉層構造などの不変で可積分な幾何構造が付随するが、一方で接触構造などの非可積分構造（多変数複素解析における強擬凸性）も誘導し、シンプレクティック構造、複素構造の境界となる。幾何構造としてはより高次微分の構造である Engel 構造も誘導し、ある種の特異点の構造とも深く関係してより高次元の接触構造、Poisson 構造も誘導する。
3次元代数的 Anosov 流からスタートして、カスプ特異点、K3曲面などを含め、次元横断的なこれらの構造の位相的特性を調べることが目的である。
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素3変数尖点特異点の Milnor fibrer からの Lefschez fibration が Lagrangian torus fibration として実現できることが明確に分かった。一方、これに適合する K3 曲面の複素構造や symplectic 構造は見いだせていない。
典型的な Anosov 葉層を含む実解析的平坦円周束に関する Mather-Thurston map の理論について、それがある意味で「恒等写像」に近いものであることを突き止めた。ホモトピー論の立場での厳密な写像の把握までは至っていないが、実数直線の周期的な実解析的微分同相の群が、葉層構造の分類空間のループ空間の一部として含まれることを見出した。また、C∞級の平坦円周束のオイラー類のベキの非自明性についての新たな証明がMather-Thurston
理論から得られた。ただし、これが第4の証明であるが、これまでのどの証明も実は Mather-Thurston 理論を経由している。また、単純に Mather-Thurston 写像を経由するのではなく、Borel 商を取ったレベルで議論が進む点も同様で、この意味で、平坦束の理論に Mather-Thurston 理論が以下に応用されるかについての方法論が明確になった。
5次元球面上では、尖点特異点や単純楕円特異点の Milnor fibration から正則な Poisson 構造を構成することに成功していたが、これらの構成を見直すことにより、symplectic foliation の退化を伴うよい Poisson 構造の存在が5次元球面上で提案され、そのモデルを提案するとともに、この考え方が、4次元球面上での特異性のある Poisson 構造の構成にも適応可能であることを見出した。このモデルに従っての厳密な構成の可能性の検証は今後の課題として残っている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3次元接触構造、5次元Poisson構造に強くかかわる研究課題については、保積 Legendre 流の局所生成性や Mooser 補題が困難な命題であることが判明したことによりその方向での研究の展開にはやや遅れが見られる一方で、新たな研究視点も見出された。4次元symplectic 構造, Engel 構造と線世億・葉層構造が関わる分では概ね順調に研究が進展していると思われる。また2, 3次元多様体上の実解析的余次元1葉層に関わる部分では、想定以上の進展を見た。平均してみると、概ね順調に近い展開と判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
Anosov 流に付随する接触構造の凸性の原理的理解が予想以上に難しい問題であることが分かったが、この方向性では、寧ろこの研究全体の課題である、4次元symplectic構造、2次元複素構造との関連から理解を進める方向性を加えて研究を進める。一方、典型的 Anosov 葉層が与える実解析的余次元1葉層束の構造を、1次元実解析的微分同相の研究として展開することを新たな研究方針のひとつとして加える。
4次元symplectic構造、K3 曲面に関しては、`Lagrangian torus fibration' から誘導される低空間（実曲面）の integral affine structure に注目してこれまでの研究計画を進める。
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Report
(1 results)
Research Products
(10 results)
