Exponential mixing property of Anosov flows and some related topics in quantum chaos

• Project/Area Number: 23K20806
• Project/Area Number (Other): 21H00994 (2021-2023)
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund (2024); Single-year Grants (2021-2023)
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 辻井 正人 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20251598)
• Project Period (FY): 2024-04-01 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥17,160,000 (Direct Cost: ¥13,200,000、Indirect Cost: ¥3,960,000); Fiscal Year 2025: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2024: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2023: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2022: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000); Fiscal Year 2021: ¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
• Keywords: 力学系 / カオス / 部分双曲力学系 / 安定葉層 / アノソフ流 / 測地流 / エルゴード理論 / 微分可能力学系 / Anosov 流 / 波束変換 / 不変葉層 / 転送作用素 / フーリエ変換 / 双曲力学系 / 準古典解析 / 指数混合性

Outline of Research at the Start

自然界の諸現象を記述するために、科学では時間経過に伴う変化を「力学系」という数学的対象で表現します。この中には、系自体は単純でも、その振る舞いが複雑で予測不可能になることがあり、「カオス」と呼ばれます。カオスを記述し、解析する方法は、力学系理論において最も重要な課題の１つです。本研究は、特に典型的なカオスの一形態であるアノソフ流に対して理論的で精密な解析を行います。興味深いことに、この研究の中で量子力学との類似性が発見され、多くの研究者の注目を集めています。本研究は、この分野において主導的な役割を果たすことを目指しています。

Outline of Annual Research Achievements

本年度（令和5年度）は以下の点について研究を行った。
１）双曲及び部分双曲力学系における安定および不安定葉層の幾何学的な形状の研究
安定及び不安定葉層は力学系の研究において非常に重要な相空間上の幾何学的構造であるが、それらは葉層としてそれぞれの葉は滑らかであるものの横断方向には不正則で、滑らかではなく一般にはヘルダー連続でしかない。この構造を低次元で無限回微分可能という条件の下で解析したのがこれまでの本研究の技術的な背景になっている。そこで、議論をより一般の系に拡張するためには「低次元で無限回微分可能」という条件を外す必要がある。この問題について、非一様双曲集合（Pesin集合）とnon-stationary normal form の理論を使うことで議論を発展させた。
２）３次元部分双曲力学系におけるPalis予想の解決に向けた研究
一般に可微分力学系において、有限個のエルゴード論的アトラクターが存在して、相空間は測度０の集合を除いて、それらの吸引領域に分割されるというのがエルゴード論の意味でのPalis予想である。この予想自体は現在の力学系のレベルでは議論するのが難しいが、部分双曲力学系の範囲で解決したいというのが研究代表者の研究に目標である。特に３次元の場合が本研究課題の目標でもある。この点について、３次元の場合に前年までの３次元アノソフ流に関する研究を発展させる方向で研究を進めた。特に以前に自身で発表した「Physical measures for partially hyperbolic surface endomorphisms」（Acta Math, 2005）の議論に上で述べた１）の研究を用いて３次元に拡張する方向で研究を進めた。また、前年までの研究について論文としてまとめて、査読を経て出版した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究の目標の達成に向けて、安定及び不安定葉層に関する技術的であるが重要な問題について進展があった。また、前年度までの研究内容が査読を経て論文として出版されている。一方で量子カオスに関連する研究についてはあまり進展していない。

Strategy for Future Research Activity

これまで得られた安定及び不安定葉層に関する技術的な発展を生かして、３次元部分双曲系に関してPalis予想を含む様々な問題に挑戦する。さらに、それらを高次元に拡張する方法について考察を進める。

Research Products

• [Journal Article] On bifurcation of statistical properties of partially hyperbolic endomorphisms (2024)
  • Author(s): TSUJII MASATO、ZHANG ZHIYUAN
  • Journal Title: Ergodic Theory and Dynamical Systems Volume: 44 Issue: 3 Pages: 933-944
  • DOI: 10.1017/etds.2023.11
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Micro-local analysis of contact Anosov flows and band structure of the Ruelle spectrum (2024)
  • Author(s): Faure Frederic、Tsujii Masato
  • Journal Title: Communications of the American Mathematical Society Volume: 4 Issue: 15 Pages: 641-745
  • DOI: 10.1090/cams/40
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] VIRTUALLY EXPANDING DYNAMICS (2023)
  • Author(s): TSUJII Masato
  • Journal Title: Kyushu Journal of Mathematics Volume: 77 Issue: 2 Pages: 291-298
  • DOI: 10.2206/kyushujm.77.291
  • ISSN: 1340-6116, 1883-2032
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Smooth mixing Anosov flows in dimension three are exponentially mixing (2023)
  • Author(s): Tsujii Masato、Zhang Zhiyuan
  • Journal Title: Annals of Mathematics Volume: 197 Issue: 1 Pages: 65-158
  • DOI: 10.4007/annals.2023.197.1.2
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Fractal Weyl law for the Ruelle spectrum of Anosov flows (2023)
  • Author(s): Faure Frederic、Tsujii Masato
  • Journal Title: Annales Henri Lebesgue Volume: 6 Pages: 331-426
  • DOI: 10.5802/ahl.167
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Invariant densities for random continued fractions (2022)
  • Author(s): Kalle Charlene、Matache Valentin、Tsujii Masato、Verbitskiy Evgeny
  • Journal Title: Journal of Mathematical Analysis and Applications Volume: 512 Issue: 2 Pages: 126163-126163
  • DOI: 10.1016/j.jmaa.2022.126163
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Presentation] Non-integrability between strong stable and unstable foliations in 3-dim partially hyperbolic dynamical system (2024)
  • Author(s): TSUJII, Masato
  • Organizer: Real and Complex Dynamics（日仏力学系研究集会）
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Virtually expanding dynamics (2023)
  • Author(s): Tsujii, Masato
  • Organizer: Analytic techniques in Dynamics and Geometry
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Virtually expanding dynamics (2023)
  • Author(s): Masato Tsujii
  • Organizer: International workshop on Ergodic theory, Dynamical systems and Climate sciences
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On bifurcation of statistical properties of partially hyperbolic endomorphisms (2023)
  • Author(s): Masato Tsujii
  • Organizer: 冬の力学系研究集会
• [Presentation] ３次元アノソフ流の指数混合性について (2021)
  • Author(s): 辻井 正人
  • Organizer: 2021年度冬の力学系研究集会
• [Presentation] ３次元アノソフ流に対する Bowen-Ruelle予想 (2021)
  • Author(s): 辻井 正人
  • Organizer: 京都力学系セミナー