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精度保証付き数値計算の前進---有限と無限をつなぐもの---

Research Project

Project/Area Number 23K20812
Project/Area Number (Other) 21H01000 (2021-2023)
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Allocation TypeMulti-year Fund (2024)
Single-year Grants (2021-2023)
Section一般
Review Section Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
Research InstitutionKyushu University

Principal Investigator

渡部 善隆  九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 宮路 智行  京都大学, 理学研究科, 准教授 (20613342)
木下 武彦  佐賀大学, 理工学部, 准教授 (30546429)
小林 健太  一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
土屋 卓也  愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00163832)
Project Period (FY) 2021-04-01 – 2025-03-31
Project Status Declined (Fiscal Year 2024)
Budget Amount *help
¥17,160,000 (Direct Cost: ¥13,200,000、Indirect Cost: ¥3,960,000)
Fiscal Year 2024: ¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2023: ¥5,070,000 (Direct Cost: ¥3,900,000、Indirect Cost: ¥1,170,000)
Fiscal Year 2022: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2021: ¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Keywords精度保証付き数値計算 / 計算機援用証明 / 有限要素法 / 線形作用素の可逆性 / 射影誤差評価 / 非線形偏微分方程式
Outline of Research at the Start

精度保証付き数値計算とは、代数方程式や微分方程式などの解の存在および誤差限界を数学的 に保証する数値計算法です。本研究課題の目的は、応募者が構築してきた無限次元計算理論の高度化と、その基盤となる有限次元部分空間への直交射影に対する誤差評価手法の高効率化により、有限と無限をつなぐ普遍的な数値計算法を確立することにあります。また、結実した理論・方法を、非線形関数方程式の未解決問題に対する計算機援用証明に応用するとともに、無限次元固有値問題と安定性解析、さらに、非整数階微分方程式の数値的検証に展開・拡張します。

Outline of Annual Research Achievements

前年度に引き続き、非線形関数方程式に対する精度保証付き数値計算手法の一般化・汎用化に取り組みました。具体的な研究実績は以下の通りです。
(1) 具体的な応用となる非線形関数方程式を念頭に、適切な方法により得られた近似解の周りで非線形関数方程式の線形化により導かれた線形作用素の可逆性検証条件の改善と、逆作用素ノルムの上界を効率的に評価する手法を推進しました。あわせて、2階楕円型作用素における収束オーダーの改善と定量的な逆作用素ノルムの誤差限界を与えることに成功し。国内学会において成果を発表しました。
(2) (1)で得られた線形化作用素の可逆性検証と逆作用素ノルム評価を用いて、非線形関数方程式を無限次元Newton型作用素による不動点形式に同値変形します。不動点問題を計算機により解くためには、計算機による取扱いが可能な有限次元部分空間の設定と、無限次元空間から有限次元部分空間への直交射影の定量的誤差評価が要請されます。様々な形状の領域にも対応する基底関数より構成される有限次元部分空間に対する直交射影の誤差の最適値を上限・下限の形で数学的に厳密かつ精緻に捉える研究を推進し、特異性を含む線形作用素への応用を含む実問題への適用に成功しました。
(3) (1)(2)により達成される理論および基盤技術を,非線形関数方程式の解の存在検証に適用しました。今年度は、Navier-Stokes方程式から導かれるProudman-Johnson問題、Elkouh問題、Bermann問題の解に対する計算機援用証明に取り組み、いくつかの検証例を得ることができました。さらに、3次元波動方程式の爆発解の存在検証に成功し、数学的な未解決問題のひとつである安定性解析への道筋を付けることができました。

Research Progress Status

令和5年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和5年度が最終年度であるため、記入しない。

Report

(3 results)
  • 2023 Annual Research Report
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • Research Products

    (36 results)

All 2024 2023 2022 2021 Other

All Int'l Joint Research (9 results) Journal Article (6 results) (of which Int'l Joint Research: 4 results,  Peer Reviewed: 6 results,  Open Access: 5 results) Presentation (20 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Invited: 2 results) Remarks (1 results)

  • [Int'l Joint Research] カールスルーエ工科大学(ドイツ)

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  • [Journal Article] Another computer-assisted proof of unimodality of solutions for Proudman?Johnson equation2024

    • Author(s)
      Watanabe Yoshitaka, Miyaji Tomoyuki
    • Journal Title

      Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics

      Volume: 41 Issue: 2 Pages: 1013-1032

    • DOI

      10.1007/s13160-023-00639-x

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    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Inclusion method of optimal constant with quadratic convergence for $H_0^1$-projection error estimates and its applications2023

    • Author(s)
      Takehiko Kinoshita and Yoshitaka Watanabe and Nobito Yamamoto and Mitsuhiro T. Nakao
    • Journal Title

      Journal of Computational and Applied Mathematics

      Volume: 417 Pages: 114521-114521

    • DOI

      10.1016/j.cam.2022.114521

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    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Efficient Approaches for Verifying the Existence and Bound of Inverse of Linear Operators in Hilbert Spaces2023

    • Author(s)
      Yoshitaka Watanabe and Takehiko Kinoshita and Mitsuhiro T. Nakao
    • Journal Title

      Journal of Scientific Computing

      Volume: 94 Issue: 2 Pages: 43-43

    • DOI

      10.1007/s10915-023-02097-6

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      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] On Some Convergence Properties for Finite Element Approximations to the Inverse of Linear Elliptic Operators2022

    • Author(s)
      Takehiko Kinoshita and Yoshitaka Watanabe and Mitsuhiro T. Nakao
    • Journal Title

      Acta Cybernetica

      Volume: -- Issue: 1 Pages: 71-82

    • DOI

      10.14232/actacyb.294906

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      2023 Annual Research Report 2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Improvement of infinity norm estimations related to computer-assisted proofs of the Kolmogorov problem2022

    • Author(s)
      Kobayashi Kenta、Watanabe Yoshitaka
    • Journal Title

      JSIAM Letters

      Volume: 14 Issue: 0 Pages: 92-95

    • DOI

      10.14495/jsiaml.14.92

    • ISSN
      1883-0609, 1883-0617
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      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Computer-assisted proofs of the existence of a symmetry-breaking bifurcation point for the Kolmogorov problem2021

    • Author(s)
      Cai Shuting、Watanabe Yoshitaka
    • Journal Title

      Journal of Computational and Applied Mathematics

      Volume: 395 Pages: 113603-113603

    • DOI

      10.1016/j.cam.2021.113603

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      2021 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Some computer-assisted proofs for nonlinear differential equations involved with self-similar blowup in wave equations2024

    • Author(s)
      Yoshitaka Watanabe
    • Organizer
      Nonlinear Analysis, Spectral theory and PDEs, Workshop in Honor of Prof. Dr. Michael Plum, February 21-22, 2024, Institute for Analysis, Karlsruhe Institute of Technology, Karlsruhe, Germany.
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      2023 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 近似楕円型線形作用素のノルムに関する収束性評価の改良2024

    • Author(s)
      木下 武彦, 渡部 善隆, 中尾 充宏
    • Organizer
      日本応用数理学会第20回(2024年)研究部会連合発表会, 長岡科学技術大学, 長岡市, 2024年3月4日~6日.
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      2023 Annual Research Report
  • [Presentation] 線形作用素の近似逆作用素ノルムに対する精度保証付き数値計算2024

    • Author(s)
      寺尾 剛史, 渡部 善隆, 尾崎 克久
    • Organizer
      日本応用数理学会第20回(2024年)研究部会連合発表会, 長岡科学技術大学, 長岡市, 2024年3月4日~6日.
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      2023 Annual Research Report
  • [Presentation] 実2×2行列の2ノルムと近似逆作用素ノルムの収束オーダーの改善について2024

    • Author(s)
      木下 武彦, 渡部 善隆, 中尾 充宏
    • Organizer
      日本数学会2024年年会, 大阪公立大学, 応用数学分科会講演アブストラクト, pp.175-176, 2024年3月17日~20日.
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      2023 Annual Research Report
  • [Presentation] 無限次元線形作用素の近似逆作用素ノルムに対する精度保証付き特異値計算2024

    • Author(s)
      寺尾 剛史, 渡部 善隆, 尾崎 克久
    • Organizer
      日本数学会2024年年会, 大阪公立大学, 応用数学分科会講演アブストラクト, pp.177-178, 2024年3月17日~20日.
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      2023 Annual Research Report
  • [Presentation] A computer-assisted proof for a nonlinear differential equation involved with self-similar blowup in wave equations,2023

    • Author(s)
      Yoshitaka Watanabe, Kaori Nagatou, Michael Plum, Birgit Scherkhuber, and Mitsuhiro T. Nakao
    • Organizer
      Minisymposia: Verified Numerical Computations and Applications, in the 10th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM), August 20-25, 2023, Waseda University, Tokyo, Japan.
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      2023 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 精度保証付き数値計算によるProudman-Johnson方程式の単峰性解の存在検証2023

    • Author(s)
      渡部 善隆, 宮路 智行
    • Organizer
      日本数学会2023年度秋季総合分科会 応用数学分科会講演アブストラクト, pp.195-196, 東北大学, 仙台市, 2023年9月20日~9月23日.
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      2023 Annual Research Report
  • [Presentation] 非線形波動方程式の自己相似爆発解に対する精度保証付き数値計算2023

    • Author(s)
      渡部 善隆
    • Organizer
      RIMS共同研究(公開型)「新時代における高性能科学技術計算法の探究」 (Research on High-performance Scientific Computing in a New Era), 京都大学, 益川ホール, 京都市, 2023年10月18日~10月20日.
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      2023 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] 楕円型線形作用素に対する近似逆作用素ノルムの収束性評価2023

    • Author(s)
      木下 武彦, 渡部 善隆, 中尾 充宏
    • Organizer
      日本応用数理学会2023年研究部会連合発表会, 岡山理科大学, 2023年3月8日~10日.
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      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] 2階楕円型線形作用素に対する近似逆作用素ノルムの収束オーダー評価2023

    • Author(s)
      木下 武彦, 渡部 善隆, 中尾 充宏
    • Organizer
      日本数学会2023年年会, 中央大学, 応用数学分科会講演アブストラクト, pp. 103-104, 2023年3月15日~18日.
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      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] Proudman-Johnson方程式の定常解に対する精度保証付き数値計算 ~Miyaji-Okamoto定理の別証~2022

    • Author(s)
      渡部 善隆
    • Organizer
      日本応用数理学会2022年度年会講演予稿集, A3-1-1, 北海道大学(セミハイブリッド), 札幌市, 2022年9月8日~9月10日.
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      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] 精度保証付き数値計算によるProudman Johnson 方程式の定常解の存在別証2022

    • Author(s)
      渡部 善隆
    • Organizer
      日本数学会2022年度秋季総合分科会 応用数学分科会講演アブストラクト, pp.79-80, 北海道大学, 札幌市, 2022年9月13日~9月16日.
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      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] 2階楕円型境界値問題から導かれる近似作用素ノルムの収束性2022

    • Author(s)
      渡部 善隆, 木下 武彦, 中尾 充宏
    • Organizer
      日本応用数理学会2022年研究部会連合発表会, 九州大学(オンライン), 2022年3月8日~9日.
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      2021 Annual Research Report
  • [Presentation] A computer-assisted proof toward the critical Reynolds number for the Orr-Sommerfeld problem2022

    • Author(s)
      Yoshitaka Watanabe, Kaori Nagatou, Michael Plum, Takehiko Kinoshita, Mitsuhiro T. Nakao
    • Organizer
      International Workshop on Reliable Computing and Computer-Assisted Proofs (ReCAP 2022), March 13-18, 2022 (online).
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      2021 Annual Research Report
  • [Presentation] OrrSommerfeld方程式の臨界Reynolds数に対する計算機援用証明2022

    • Author(s)
      渡部 善隆, 長藤かおり, Michael Plum, 木下 武彦, 中尾 充宏
    • Organizer
      日本数学会2022年年会, 埼玉大学, 応用数学分科会講演アブストラクト, pp. 153-154, 2022年3月28日~31日
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  • [Presentation] 定常Kolmogorov問題の対称性破壊分岐点に対する精度保証付き数値計算2021

    • Author(s)
      渡部 善隆, Cai Shuting
    • Organizer
      日本応用数理学会2021年度年会講演予稿集, pp.424-425, 芝浦工業大学(オンライン), さいたま市, 2021年9月7日~9月9日.
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  • [Presentation] On some convergence properties for finite element approximations to the inverse of linear elliptic operators2021

    • Author(s)
      Takehiko Kinoshita, Yoshitaka Watanabe, and Mitsuhiro T. Nakao
    • Organizer
      19th GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic, and Validated Numerics (SCAN 2020), September 13-15, 2021, Szeged, Hungary.
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  • [Presentation] Kolmogorov問題の対称性破壊分岐点に対する計算機援用証明2021

    • Author(s)
      渡部 善隆, Cai Shuting
    • Organizer
      日本数学会2021年度秋季総合分科会 応用数学分科会講演アブストラクト, pp.123-124, 千葉大学(オンライン), 千葉市, 2021年9月14日~9月17日.
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      2021 Annual Research Report
  • [Presentation] 非線形微分方程式に対する精度保証付き数値計算2021

    • Author(s)
      渡部 善隆
    • Organizer
      CREST「現代の数理科学と連携するモデリング手法の構築」 成果報告公開シンポジウム~DX, AI, これからの数理モデリング~, オンライン開催, 2021年9月21日~9月24日.
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  • [Presentation] ある三角行列の最小特異値に対するBuenger-Rump理論による精度保証付き数値計算2021

    • Author(s)
      渡部 善隆
    • Organizer
      第5回精度保証付き数値計算の実問題への応用研究集会(NVR 2021) ・JST/CREST「モデリングのための精度保証付き数値計算論の展開」成果報告会, オンライン開催, 2021年11月27日~11月28日.
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      2021 Annual Research Report
  • [Remarks] Watanabe Yoshitaka's web

    • URL

      https://ri2t.kyushu-u.ac.jp/~watanabe/

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URL: 

Published: 2021-04-28   Modified: 2024-12-25  

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