| Project/Area Number |
23K22384
|
|---|
| Project/Area Number (Other) |
22H01113 (2022-2023)
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
|
| Allocation Type | Multi-year Fund (2024)
Single-year Grants (2022-2023) |
|---|
| Section | 一般 |
|---|
| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
伊山 修 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70347532)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
|
| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
|
| Budget Amount *help |
¥17,290,000 (Direct Cost: ¥13,300,000、Indirect Cost: ¥3,990,000)
Fiscal Year 2026: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2025: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2024: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2023: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
|
|---|
| Keywords | 導来圏 / 安定性条件 / 団圏 / 特異圏 / Cohen-Macaulay加群 / g-fan / silting object / cluster tilting object / AS Gorenstein代数 / 非可換超曲面 / dg圏 / mixed団傾加群 / Auslander対応 / 準傾対象 / 扇 |
|---|
| Outline of Research at the Start |
環とは加法、減法、乗法の与えられた集合であり、整数、有理数、実数、複素数などの数体系はもちろん、多項式や行列をはじめ様々な例があり、現代数学を支える重要な基礎概念の一つである。整環は、最も基本的な環のクラスの一つである。体上の有限次元代数およびCohen-Macaulay環と呼ばれる基本的な２つのクラスを共通に一般化したものであり、箙（クイバー）の道代数や有限群の群環をはじめ多くの重要な例がある。本研究計画では傾理論に基づいたアプローチにより、整環の表現論を深化させることを目的とする。
|
| Outline of Annual Research Achievements |
上山健太氏, 木村雄太氏と共同(arXiv:2404.05925)で、d次元Artin-Schelter Gorenstein代数AのCohen-Macaulay表現論を調べた。この代数は非可換代数幾何で基本的な対象であり、古典的な（次数付き）Gorenstein整環を含む重要な環のクラスである。このように非可換の状況では、古典的なGorensteinパラメータは、単純加群ごとに定まる整数の組として定義されるが、それらの平均値を平均Gorensteinパラメータと呼ぶ。我々はd=1の場合に、Aの次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏に傾対象が存在する（言い換えると、Aの次数付き特異圏が環の導来圏と同値になる）ための必要十分条件が、「Aの平均Gorensteinパラメータが0以下であるか或いはAが正則である」ことを証明した。これは以前の可換Gorenstein環に対するRagnar Buchweitz氏、山浦浩太氏との共同研究の主定理を大きく拡張する成果である。証明の鍵の一つは、次数付き森田同値によりGorensteinパラメータを巧妙に制御することである。また2次の非可換超曲面の場合に、我々の圏同値を制限することによりSmith-Van den Berghの圏同値が得られることを示した。
以前の埴原紀宏氏との共同研究(arXiv:2209.14090)を改良した。次数付きGorenstein環Rと有限次元代数Aに対し、Rが孤立特異点と限らない場合にも、Rの次数付き特異圏とAの導来圏の同値から、Rの特異圏の特定の部分圏とAの団圏の同値が得られることを示した。
以前のAaron Chan氏, Rene Marczinzik氏との共同研究(arXiv:2210.06180)を改良した。特に２種類のmixed団傾加群の構成方法を与えた。
他の研究は省略する。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上山氏、木村氏との共同研究を完成することができた。また埴原氏との共同研究の主定理を、孤立特異点で無い場合に正確に与えることができたことは、大きな進展である。他のいくつかの研究も順調に進展している。
|
| Strategy for Future Research Activity |
引き続き, Auslander-Reiten理論, 傾理論, 団傾理論, 非可換特異点解消などに関する諸問題に関して, じっくりと取り組む予定である.
|
