Integration of cluster algebras and scattering diagrams

• Project/Area Number: 23K22385
• Project/Area Number (Other): 22H01114 (2022-2023)
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund (2024); Single-year Grants (2022-2023)
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 中西 知樹 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (80227842)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 木村 嘉之 大阪公立大学, 国際基幹教育機構, 特任講師 (10637010)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2027-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥15,340,000 (Direct Cost: ¥11,800,000、Indirect Cost: ¥3,540,000); Fiscal Year 2026: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000); Fiscal Year 2025: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000); Fiscal Year 2024: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000); Fiscal Year 2023: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000); Fiscal Year 2022: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
• Keywords: 団代数 / 団散乱図 / 二重対数関数 / 散乱図式

Outline of Research at the Start

団代数は，2000年ごろにFominとZelevinskyにより導入された可換代数の一種である．多元環や量子群の表現論，タイヒミュラー理論，整数論，完全WKB解析など，様々な分野に現れる代数的組み合わせ論的構造として，盛んに研究されている．本研究では，団代数理論の理論体系を整備すること，団代数理論の様々な応用を研究することの二つを主題としている．特に，団代数理論をミラー対称性に現れる散乱図により再定式化することを目標とする．

Outline of Annual Research Achievements

以下の研究を行った．
１．最近，Li-Panにより，ニュートン多面体の方法による団代数理論における重要定理（C行列の符号同一性定理・ローラン正値性）の新しい証明が与えられた．これは，従来のGrossらによる散乱図による証明とは全く異なるものである．団代数理論における上の二つの定理の重要性に鑑みて，Li-Panの導入した多面体関数の研究を行った．多面体関数とは，団単項式の一般化であり，またランク2の場合の貪欲元(greedy element)の一般化である．今年度は主としてランク２の場合を詳細に研究して，興味深いいくつかの新しい結果を得た．結果はまだ公表していないため，詳細は記さない．
２．昨年度から引き続き団代数理論の基礎に関する包括的な教科書の執筆をし，団代数理論の体系的な整備を行った．これは，2024年度には出版される見込みである．
また，伊山（東大），大矢（東工大），木村（大阪公大）と共同で以下の二つの研究会を実施した．
a. Summer School on Cluster Algebras 2023年8月，オンライン，b. Advances in Cluster Algebras 2024年3月，名大．とくに，bについてはコロナ禍以降初めての対面式の研究集会であった．二つの研究集会を通して，参加者と活発な議論を行い，団代数の理論と応用についての最新の結果と知見を得ることができた．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当研究の目標である団代数論と団散乱図の融合に向けて，団代数理論の現状を体系的にまとめた本の執筆を計画通りに進められた．また，団代数と団散乱図の間を埋める新たな視点としてニュートン多面体による多面体関数の研究を開始した．現在はランク２における結果しか得ていないが，このアプローチは団変数の悪地領域への拡張を与えるものとしてとても有効であると考えている．

Strategy for Future Research Activity

以下の３つの研究を並行して進める．
１．ランク２および一般ランクの多面体関数の研究を引き続き行う．
２．団代数理論の基礎に関する包括的な教科書の執筆を完了する．
３．昨年度は中断していた団代数と２重対数関数恒等式の関係に関する包括的な教科書の執筆を再開し完了する．

Research Products

• [Int'l Joint Research] University of California, Berkeley/University of Minnesota(米国)
• [Journal Article] Two formulas for F -polynomial (2024)
  • Author(s): Feiyang Lin, Gregg Musiker, Tomoki Nakanishi
  • Journal Title: Int. Math. Res. Not. Volume: 2024 Issue: 1 Pages: 613-634
  • DOI: 10.1093/imrn/rnad074
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Dilogarithm identities in cluster scattering diagrams (2024)
  • Author(s): Tomoki Nakanishi
  • Journal Title: Nagoya Math. J. Volume: 253 Pages: 1-22
  • DOI: 10.1017/nmj.2023.15
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Presentation] Classical vs quantum pentagon relations (2024)
  • Author(s): Tomoki Nakanishi
  • Organizer: Cluster Algebras and Its Applications, Mathematisches Forschungsinstitut (MFO)
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Reducibility of dilogarithm identities in cluster algebras (2023)
  • Author(s): Tomoki Nakanishi
  • Organizer: Cluster algebra, Representation theory and Algebraic geometry, The University of Hong Kong
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Dilogarithm identities, cluster algebras, and cluster scattering diagrams (2023)
  • Author(s): Tomoki Nakanishi
  • Organizer: Polylogarithms, Cluster Algebras, and Scattering Amplitudes, Brin Mathematics Research Center (BMRC), University of Maryland
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Cluster algebras and cluster scattering diagrams (2022)
  • Author(s): 中西知樹
  • Organizer: 代数学シンポジウム, 京大数理研/online
  • Invited
• [Presentation] Mutations, dilogarithm, and pentagon relation (2022)
  • Author(s): Tomoki Nakanishi
  • Organizer: Bases for Cluster Algebras, Oaxaca, Mexico/online
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Book] Cluster algebras and scattering diarams (2023)
  • Author(s): Tomoki Nakanishi
  • Total Pages: 279
  • Publisher: Mathematical Society of Japan
  • ISBN: 9784864971058
• [Remarks]
  • URL: http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~nakanisi/index.html
• [Funded Workshop] Advances in Cluster Algebras 2024, 名大 (2024)
• [Funded Workshop] Summer School on Cluster Algebras 2023, online (2023)
• [Funded Workshop] Advances in Cluster Algebras, online (2023)
• [Funded Workshop] Trends in Cluster Algebras, online (2022)