数論的不変式論の深化と数論統計学

• Project/Area Number: 23K22386
• Project/Area Number (Other): 22H01115 (2022-2023)
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund (2024); Single-year Grants (2022-2023)
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Kobe University
• Principal Investigator: 谷口 隆 神戸大学, 理学研究科, 教授 (60422391)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2027-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥15,080,000 (Direct Cost: ¥11,600,000、Indirect Cost: ¥3,480,000); Fiscal Year 2026: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000); Fiscal Year 2025: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000); Fiscal Year 2024: ¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000); Fiscal Year 2023: ¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000); Fiscal Year 2022: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
• Keywords: 数論的不変式論 / 概均質ベクトル空間 / 数論統計学 / 余正則空間 / 指数和 / 篩 / 一様評価

Outline of Research at the Start

整数論の中でも、全体的な分布のパターンがどうなっているかを研究する、数論統計学の問題を考える。特に、ゼータ関数とよばれる関数を使って考えることのできる問題に焦点をあてる。「概均質ベクトル空間」から生じるゼータ関数を中心にして、その分析や、不変式論の観点からの一般化について考える。空間の中の領域や格子点の分布を問題を考える「数の幾何」という分野との繋がりがあり、これをもっと深めたい。

Outline of Annual Research Achievements

2元4次形式の空間において、特異集合上の指数和の明示公式を証明した。公式に有限体上の楕円曲線の有理点の個数が現れたのは新しい現象であると思われる。証明は、古典的な代数幾何学のほか、余正則空間と種数１曲線の関連を用いる。応用として、概素数篩を用いて、2-セルマー群が非自明であるような有理数体上の楕円曲線で、判別式が無平方かつ高々4個しか素因数をもたないものが数多くあることを証明した。素数２において初等的だが技巧を要する命題をいくつか示す必要があり、これを完遂することができた。これは３名の研究者との共同研究である。成果は論文にして公開し、現在学術誌に投稿中である。

余正則空間から密度定理を証明する研究を継続した。特に誤差項の改良について研究した。篩において様々な命題を証明する必要があり、いくつかの基本的な進展を得た。この研究は今後も継続する。また、群が簡約でないときの概均質ベクトル空間の軌道指数和について研究を進めた。ベクトル空間が行列の空間の場合に、データから一定の規則が確認できた。きちんとした公式にできないか研究を継続する。

第30回整数論サマースクール『概均質ベクトル空間論の発展』を、杉山和成氏（千葉工業大）、石塚裕大氏（九州大）と共同で企画し、神戸大学において、9月初旬に5日間で開催した。講演は、入門的な内容から、近年の研究の紹介までをカバーした。75名ほどの参加者を得て、盛会になったと思う。400ページ余りの報告集を出版した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

数論的不変式論に関する具体的で新しい成果が得られているため。

Strategy for Future Research Activity

軌道指数和の統一的な規則や公式を探す。2元4次形式の空間において得られている成果を、より複雑な余正則空間でも考えることができないか追究する。海外から研究者を招聘して研究打ち合わせを行ったり、研究集会を開催して情報収集を行ったりする。

Research Products

• [Int'l Joint Research] University of South Carolina(米国)
• [Int'l Joint Research] University of Toronto/University of Northern British Columbia(カナダ)
• [Int'l Joint Research] Princeton University/University of South Carolina(米国)
• [Int'l Joint Research] University of Toronto(カナダ)
• [Presentation] 判別式が概素数である既約な整数係数２元４次形式の同値類の個数について (2023)
  • Author(s): 谷口隆
  • Organizer: 京都大学数理解析研究所談話会
  • Invited
• [Presentation] 例で学ぶ概均質ベクトル空間 (2023)
  • Author(s): 谷口隆
  • Organizer: 第30回整数論サマースクール「概均質ベクトル空間論の発展」
  • Invited
• [Presentation] 本論のための準備 (2023)
  • Author(s): 谷口隆
  • Organizer: 第30回整数論サマースクール「概均質ベクトル空間論の発展」
  • Invited
• [Presentation] 概均質ベクトル空間の軌道指数和 (2022)
  • Author(s): 谷口隆
  • Organizer: 三角関数研究会
  • Invited
• [Presentation] Improved error estimates for counting cubic fields (2022)
  • Author(s): Takashi Taniguchi
  • Organizer: RIMS Workshop 2022 "Analytic Number Theory and Related Topics"
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Remarks] Takashi Taniguchi
  • URL: http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/tani/index.html
• [Funded Workshop] Kobe Number Theory Mini-Workshop 2023 (2023)