| Project/Area Number |
23K22387
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| Project/Area Number (Other) |
22H01116 (2022-2023)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2024)
Single-year Grants (2022-2023) |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
山田 泰彦 神戸大学, 理学研究科, 教授 (00202383)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
太田 泰広 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10213745)
高山 信毅 神戸大学, 理学研究科, 教授 (30188099)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥13,000,000 (Direct Cost: ¥10,000,000、Indirect Cost: ¥3,000,000)
Fiscal Year 2026: ¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000)
Fiscal Year 2025: ¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000)
Fiscal Year 2024: ¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
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| Keywords | 量子曲線 / モノドロミー保存変形 / 量子化 / 特殊関数 / ゲージ理論 / モノドロミー保全変形 / 離散系 / アフィンワイル群 / 量子モノドロミー保存変形 / AGT対応 / 分配関数 / パンルヴェ方程式 / 数え上げ幾何学 |
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| Outline of Research at the Start |
パンルヴェ方程式などのモノドロミー保存変形方程式は重要な非線形微分方程式であり、その差分化や量子化は現在の特殊関数論における最重要課題の１つと言える。この問題は共形場理論やゲージ理論等とも深く関連しており、こうした観点からも広く興味を持たれている。近年発見されたShakirov方程式は、q差分パンルヴェVI型方程式の量子化と同定でき、5次元ゲージ理論の分配関数との関連が期待される。これまでの研究により、Shakirov方程式の解がsl(2)型アフィンローモン空間の分配関数で与えられることを示した。こうした結果のsl(n)への拡張が重要な課題である。
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者(山田)は、Shakirov方程式の研究を継続した。これは、粟田英資、長谷川浩司、菅野浩明、大川領、S.Shakirov、白石潤一との共同研究である。2022年度までに得られていた結果(量子q-変形パンルヴェVI型方程や量子曲線との関係、sl(2)型アフィンローモン分配関数による解の予想など)をまとめた論文は、2023年11月に出版された。2023年度は、上述の解の予想を中心に研究を進めた。Shakirov方程式は基本表現物質場の質量に相当する4個のパラメータを持つが、このうちの2個を整数値に特殊化した場合に、ローモン分配関数とq-KZ方程式の4 点相関関数とが対応することがわかる。これによりq-KZ方程式とその解のJackson積分表示が、上記の予想の証明に基本的な役割を果たすことが期待された。実際、Shakirov方程式とq-KZ方程式の関係およびローモン分配関数とq-KZ方程式のジャクソン積分解の関係を精密に比較することで予想が証明された。この結果は次のプレプリントとしてまとめ、いくつかの学会・研究集会等で発表した。
H.Awata, K.Hasegawa, H.Kanno, R.Ohkawa, S.Shakirov, J.Shiraishi and Y.Yamada,
``Non-stationary difference equation and affine Laumon space II: Quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation," [arXiv:2309.15364v2 [math.QA]]
その後、sl(n)型アフィンローモン分配関数についてもq-KZ方程式との関連が見えてきた。対応する方程式の解明を中心に研究を進めている。
上記の結果も含め、離散的量子モノドロミー保存変形方程式においても、一般q-超幾何函数のような特殊函数が重要な役割を果たしている。こうした特殊函数やその拡張についての研究も進展中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の申請時の研究目的は、非可換な「量子曲線」の観点から離散パンルヴェ方程式を考察し、その量子化を目指すことであった。また、この問題が数学や数理物理の様々な分野と関連しており、それらとの相乗的発展が期待されることを述べた。実際、共形場理論のq変形に関するS.Shakirovの結果(2021年)を契機として新たな進展が生まれている。研究代表者と粟田英資、長谷川浩司、菅野浩明、大川領、S.Shakirov、白石潤一によるこれまでの共同研究により、Shakirovが与えた方程式について、q-変形パンルヴェVI型方程式の量子化との対応、自励的な場合の量子曲線・4次元極限との整合性、Shakirov方程式のアフィンローモン分配関数解の予想などの成果を挙げてきた。本研究で得られた2023年度の最も重要な結果の１つは、上述の解の予想の証明である。これは、Shakirov方程式とq-KZ方程式との関係、およびローモン分配関数とq-KZ方程式のジャクソン積分解の関係を詳細に比較することにより達成された。さらに2023年度後半には、sl(2)に対応する上記の結果をsl(n)に拡張することにも取り組み、いくつかの予備的な結果(や予想)が得られている。これについては、今後さらなる進展が見込まれる。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者と、粟田、長谷川、菅野、大川、S.Shakirov、白石との2023年度までの共同研究により、 Shakirovの方程式と量子q-変形パンルヴェVI型方程の等価性、Shakirov方程式の級数解と5次元ゲージ理論の分配関数との関係などが明らかになった。特に、Shakirov方程式の級数解はsl(2)型アフィンローモン分配関数で与えられる。そのsl(n)版の明示式もよくわかっており、それが満たす方程式の解明が当面の主要課題である。 sl(2)の場合、物質場の質量に相当する4個のパラメータのうちの2個を整数値に特殊化した場合に、ローモン分配関数とq-KZ方程式の4 点相関関数とが対応する。sl(n)に拡張した場合には、2n個の質量パラメータが存在するが、そのうちのn個を整数値に取ると、やはり有限階数の方程式に還元されるが、その方程式はアフィンsl(n)型q-KZ方程式との関係が期待される。 さらに、還元前の一般パラメータに対する方程式について、sl(2)の場合の Shakirov方程式のように簡潔な方程式を求めることは大変興味深く重要な問題である。これらの問題の解明を目指して、上記の共同研究を継続する。 上記の高階化は、何らかの高階離散パンルヴェ方程式の量子化に対応し、特殊化によりE6やE7型のアフィン ワイル群対称性を持つ離散パンルヴェ方程式を含んでいると期待される。量子曲線の観点からは、後者の系(さらにE8型の場合)が特に興味深く、その解を調べることは興味深い課題である。PD研究支援者の協力によりその解明を目指す。また、さらに退化したq-変形パンルヴェ方程式系に関して、モジュラー性等の新たな発見がなされており興味深い。これについてもPD研究支援者の協力を得て、その解明を目指す。
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