Birational geometry of Fano varieties

• Project/Area Number: 23K22389
• Project/Area Number (Other): 22H01118 (2022-2023)
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund (2024); Single-year Grants (2022-2023)
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Kyushu University (2022, 2024); Saga University (2023)
• Principal Investigator: 岡田 拓三 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20547012)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2027-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥16,380,000 (Direct Cost: ¥12,600,000、Indirect Cost: ¥3,780,000); Fiscal Year 2026: ¥2,470,000 (Direct Cost: ¥1,900,000、Indirect Cost: ¥570,000); Fiscal Year 2025: ¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2024: ¥2,730,000 (Direct Cost: ¥2,100,000、Indirect Cost: ¥630,000); Fiscal Year 2023: ¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2022: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
• Keywords: ファノ多様体 / 有理性問題 / 双有理剛性 / 双有理堅牢性 / del Pezzo曲面束 / K安定性

Outline of Research at the Start

代数多様体の有理性を判定する問題(有理性問題)は古い歴史を持ち、近年においても活発に研究されている。ファノ多様体に対して、双有理剛性やそれを弱めた性質である双有理堅牢性が定義されており、両性質ともにファノ多様体の非有理性を導く。本研究の目標は、高次元ファノ多様体の双有理剛性・堅牢性を詳細に調べることであり、これにより有理性問題の進展に貢献したい。本研究を通して、代数多様体の有理性と非有理性を分断する境界の理解が深化・前進することを望む。

Outline of Annual Research Achievements

2022年度は、3次元ファノ多様体の双有理剛性に関する研究を行なった。双有理剛性を示す際に重要な役割を演じる4n^2-不等式と呼ばれる不等式がある。これは、3次元多様体上の可動線形系の2つの一般因子の交叉として得られる1サイクルの、非特異点における重複度に関する不等式である。この不等式を適用することで、これまでに多くの3次元非特異ファノ多様体の双有理剛性が示されてきている。2022年度は、Krylov、Paemurru、Parkらとともに、このような不等式を、特異点を持つ場合に拡張する研究を行なった。結果として、この類の不等式をcA_1型端末特異点での重複度に関するものへと一般化することに成功した。さらに、得られた不等式を適用することにより、cA_1型特異点を持つ種々の3次元ファノ多様体や次数1のdel Pezzo曲面束の双有理剛性を示すことができた。（通常2重点以外の）cA_1型特異点を持つ3次元多様体の初めての例が与えられたことになる。

また、2022年度には、Cheltsov、藤田、岸本らとの共同研究により、特定の3次元ファノ多様体のK安定性を証明した。これは、いわゆるAbban-Zhuang手法を用いて当該ファノ多様体の局所安定性閾値を下から評価することで証明を行った。

さらに、2022年度には、本研究課題の主要な研究目的の1つである「3次元重み付きファノ多様体の双有理堅牢性を完全に決定する目的」の研究に着手した。2022年度中に解決はできていないものの、部分的な結果を得るなど研究は着実に進展している。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

2022年度において、線形系の一般メンバーの交叉サイクルのcA_1型特異点での重複度に関する不等式を確立できた。さらに、実際にこれを応用することでcA_1型特異点を持つ種々の3次元多様体の双有理剛性を示した。これは双有理剛性関連の研究において大きな進展である。また、本研究課題の主要目的の一つである、「3次元重み付きファノ超曲面の双有理堅牢性の完全決定」という問題に対して部分的成果を得ることができた。このような理由により、進捗状況は順調であると言える。

Strategy for Future Research Activity

順調に進展しているため、当初の予定通りに推進させたい。ただし、当初計画によって2023年度に開催する予定であった国際研究集会は諸般の都合により2024年度に延期する。

Research Products

• [Int'l Joint Research] Korea Institute for Advanced Study/IBS Center for Geometry and Physics/Ewha Womans University(韓国)
• [Int'l Joint Research] The University of Edinburgh(英国)
• [Int'l Joint Research] University of Miami(米国)
• [Journal Article] Stable rationality of index one Fano hypersurfaces containing a linear space (2022)
  • Author(s): Takuzo Okada
  • Journal Title: European Journal of Mathematics Volume: 8 Issue: 3 Pages: 1158-1171
  • DOI: 10.1007/s40879-021-00513-5
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Birational rigidity of certain singular Fano 3-folds (2022)
  • Author(s): 岡田拓三
  • Organizer: The 21st Affine Algebraic Geometry Meeting
  • Invited
• [Presentation] On birationally solid Fano 3-folds (2022)
  • Author(s): Takuzo Okada
  • Organizer: Rationality, Moduli Spaces, and Related Topics
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On birationally solid Fano 3-fold hypersurfaces (2022)
  • Author(s): Takuzo Okada
  • Organizer: Algebraic Geometry Seminar at IBS-CGP
  • Int'l Joint Research / Invited